Aufgaben zur Symmetrie von Graphen

Untersuche rechnerisch, ob der Graph der Funktion $k (x) = x^{2} + 6 x + 7$ achsensymmetrisch zu der Geraden $x = - 3$ ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie

Ist der Graph der Funktion $k$ achsensymmetrisch zu einer Geraden $x = a$ , dann gilt:

k (a - x) = k (a + x)

Hier ist $a = - 3$ .

Es muss also nachgewiesen werden, dass $k (- 3 - x) = k (- 3 + x)$ ist.

Berechne den Funktionsterm $k (- 3 + x)$ :

$k (x)$	$=$	$x^{2} + 6 x + 7$
	↓	Ersetze $x$ durch $- 3 + x$ .
$k (- 3 + x)$	$=$	$(- 3 + x)^{2} + 6 \cdot (- 3 + x) + 7$
	↓	Löse die Klammern auf. Verwende bei der ersten Klammer eine binomische Formel.
	$=$	$9 - 6 x + x^{2} - 18 + 6 x + 7$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$x^{2} - 2$

Somit ist $k (- 3 + x) = x^{2} - 2$ .

Berechne nun den Funktionsterm $k (- 3 - x)$

Ersetze $x$ durch $(- x)$ :

$k (- 3 + x)$	$=$	$(- 3 + x)^{2} + 6 \cdot (- 3 + x) + 7$
	↓	Ersetze $x$ durch $(- x)$ .
$k (- 3 + (- x))$	$=$	$(- 3 + (- x))^{2} + 6 \cdot (- 3 + (- x)) + 7$
	↓	Klammere $(- 1)$ aus.
	$=$	$(- 1)^{2} \cdot (3 + x)^{2} - 6 \cdot (3 + x) + 7$
	↓	Löse die Klammern auf. Verwende für den Term $(3 + x)^{2}$ eine binomische Formel.
	$=$	$9 + 6 x + x^{2} - 18 - 6 x + 7$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$x^{2} - 2$

Es ist $k (- 3 - x) = x^{2} - 2$ .

Somit folgt, dass $k (- 3 + x) = k (- 3 - x) = x^{2} - 2$ ist.

Die Bedingung für Achsensymmetrie bezüglich der Geraden $x = - 3$ ist also erfüllt.

Der Graph von $k$ ist achsensymmetrisch bezüglich der Geraden $x = - 3$ .

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