Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Bestimmung des Krümmungsverhaltens

Gegeben ist die Funktion $f (x) = x^{2} \cdot e^{x}$ mit $x \in ℝ$ .

Bestimme die Wendepunkte der Funktion.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte
Bestimme die ersten drei Ableitungen:
$f^{'} (x) = 2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} = e^{x} (2 x + x^{2})$
(Produktregel)
$f^{''} (x) = e^{x} (2 x + x^{2}) + e^{x} (2 + 2 x) = e^{x} (x^{2} + 4 x + 2)$
$f^{'''} (x) = e^{x} (x^{2} + 6 x + 6)$
Setze die zweite Ableitung null und forme nach x um:
$0 = e^{x} (x^{2} + 4 x + 2)$
Ein Produkt wird genau dann null, wenn einer der Faktoren null wird. $e^{x}$ kann nicht null werden. Also bleibt:
$0 = x^{2} + 4 x + 2$
$x_{W_{1}} = - 2 + \sqrt{4 - 2} = - 2 + \sqrt{2} \approx - 0,59$
$x_{W_{2}} = - 2 - \sqrt{2} \approx - 3,41$
Wir haben nun zwei Kandidaten für Wendestellen. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist, sind es auch wirklich Wendestellen:
$f^{'''} (- 2 + \sqrt{2}) \approx 1,57 > 0$
$f^{'''} (- 2 - \sqrt{2}) \approx - 0,09 < 0$
Also sind $x_{W_{1}} = - 2 + \sqrt{2}$ und $x_{W_{2}} = - 2 - \sqrt{2}$ Wendestellen.
Für die Wendepunkte braucht man noch die Funktionswerte der Wendestellen:
$f (- 2 + \sqrt{2}) \approx 0,19$
$f (- 2 - \sqrt{2}) \approx 0,38$
Die gesuchten Wendepunkte sind also: $W_{1} (- 0,59 | 0,19)$ und $W_{2} (- 3,41 | 0,38)$ .
Bestimme den Anstieg der Funktion in den Wendepunkten.

Um den Anstieg in den Wendepunkten zu ermitteln setzt man die Wendestellen in die erste Ableitung ein:
$f^{'} (- 2 + \sqrt{2}) = e^{- 2 + \sqrt{2}} (2 (- 2 + \sqrt{2}) + {(- 2 + \sqrt{2})}^{2}) \approx - 0,46$
$f^{'} (- 2 - \sqrt{2}) = e^{- 2 - \sqrt{2}} (2 (- 2 - \sqrt{2}) + {(- 2 - \sqrt{2})}^{2}) \approx 0,16$
Ermittle die Gleichung der Tangenten in den Wendepunkten.

Die Tangenten in den Wendepunkten sind Geraden. Diese kann man allgemein mit in der Form $y = m x + n$ darstellen. Aus den vorangegangenen Aufgaben kennen wir bereits die Koordinaten der Wendepunkte ( $W_{1} (- 0,59 | 0,19)$ und $W_{2} (- 3,14 ∣ 0,38)$ ) und den Anstieg in den Wendepunkten ( $- 0,46$ und $0,16$ ). Wir müssen nun nur noch die Informationen in die allgemeine Tangentengleichung einsetzen, um n zu ermitteln.
Für die Tangente in $W_{1}$ : $0,19 = - 0,46 \cdot (- 0,59) + n$ , also $n \approx - 0,08$ . Und damit eine Wendetangente mit der Gleichung $y = - 0,46 x - 0,08$ .
Für die Tangente in $W_{2}$ : $0,38 = 0,16 \cdot (- 3,14) + n$ , also $n \approx 0,88$ . Und damit eine Wendetangente mit der Gleichung $y = 0,16 x + 0,88$ .
Ermittle eine weitere Tangente, die parallel zur Tangente in einem der Wendepunkte ist.

Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_{1} (- 0.59 | 0.19)$ den Anstieg $- 0,46$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg ebenfalls $- 0,46$ beträgt: $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + x^{2}) = - 0,46$ .
Mithilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es nur die eine Lösung $- 0,59$ gibt. Es existiert also keine zweite Tangente, die parallel zur Tangente im Wendepunkt $W_{1}$ ist. (Hinweis: Um die Rechnung nachzuvollziehen, musst du mit den genauen Werten oder so vielen Nachkommastellen wie möglich rechnen.)
Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_{2} (- 3,14 ∣ 0,38)$ den Anstieg $0,16$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg ebenfalls $0,16$ beträgt: $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + x^{2}) = 0,16$ .
Mithilfe eines Taschenrechners erhält man schnell die beiden Lösungen $x_{1} \approx - 3,41$ und $x_{2} \approx 0,07$ . Wobei $x_{1}$ unsere Wendestelle ist. Es bleibt also $x_{2}$ als Stelle, bei der es eine Tangente parallel zur zweiten Wendetangente gibt. Für diese Stelle berechnet man zunächst den Funktionswert:
$f (0,07) \approx 0,005$
Damit haben wir den Punkt $P (0,07 ∣ 0,005)$ gefunden. Setzen wir nun den Anstieg, sowie x- und y-Wert in die allgemeine Tangentengleichung $y = m x + n$ ein, erhalten wir eine zur Wendetangente parallele Tangente:
$0,005 = 0,16 \cdot 0,07 + n$
$n \approx - 0,006$
Also hat die gesuchte Tangente die Gleichung: $y = 0,16 x - 0,006$ .
Ermittle eine Normale, die parallel zur Tangente im Wendepunkt ist.

Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_{1} (- 0.59 ∣ 0.19)$ den Anstieg $- 0,46$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg der Normalen gleich $- 0,46$ ist. Da eine Normale senkrecht auf der Tangente steht, sucht man eine Stelle der Funktion, sie eine Tangente hat, die senkrecht zur Wendetangente ist.
Der Anstieg der senkrechten Tangente errechnet sich aus $m_{S} = - \frac{1}{m_{T}}$ . Also muss $m_{S} = - \frac{1}{- 0,46}$ . Damit muss gelten: $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + x^{2}) = \frac{1}{0,46}$ (Die beiden Minuszeichen heben sich auf).
Mit Hilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es nur eine Lösung gibt: $x \approx 0,52$ . (Hinweis: Um die Rechnung nachzuvollziehen, musst du mit den genauen Werten oder so vielen Nachkommastellen wie möglich rechnen.)
Nun berechnet man für die gefundene Stelle den Funktionswert:
$f (0,52) \approx 0,44$
Damit haben wir den Punkt $P (0,52 ∣ 0,44)$ gefunden. Setzen wir nun den Anstieg $\frac{1}{0,46}$ , sowie x- und y-Wert in die allgemeine Tangentengleichung $y = m x + n$ ein, erhalten wir eine Normale, die parallel zur ersten Wendetangente ist:
$0,44 = - 0,46 \cdot 0,52 + n$
$n \approx 0,68$
Also hat die gesuchte Normale die Gleichung: $y = - 0,46 \cdot x + 0,68$ .
Nun berechnen wir auf dem gleichen Weg die Normale, die parallel zur zweiten Wendetangente ist:
Aus den Aufgaben zuvor wissen wir, dass die Tangente im Wendepunkt $W_{2} (- 3,14 ∣ 0,38)$ den Anstieg $0,16$ hat. Wir suchen also eine Stelle der Funktion, bei der der Anstieg $m = - \frac{1}{0,16}$ beträgt: $f^{'} (x) = e^{x} (2 x + x^{2}) = - \frac{1}{0,16}$ .
Mit Hilfe eines Taschenrechners erhält man schnell, dass es keine Lösung gibt. Die oben angegebene Normale bleibt also die einzige Normale, die parallel zu einer Wendetangente ist.

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