Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Bestimmung des Krümmungsverhaltens

Ermittle die Koordinaten der Wendepunkte für die Funktion $f (x) = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} - 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: 1653

Bestimme die ersten drei Ableitungen:

f^{'} (x) = 3 x^{4} - 8 x^{2} - 2

f^{''} (x) = 12 x^{3} - 16 x

f^{'''} (x) = 36 x^{2} - 16

Setze die zweite Ableitung Null und forme nach x um:

0 = 12 x^{3} - 16 x = x (12 x^{2} - 16)

Ein Produkt wird genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Damit haben wir unseren ersten Kandidaten:

x_{W_{1}} = 0

Nun noch die anderen ermitteln:

0 = 12 x^{2} - 16

16 = 12 x^{2}

\frac{4}{3} = x^{2}

x_{W_{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}

x_{W_{3}} = - \frac{2}{\sqrt{3}}

Wir haben nun zwei Kandidaten für Wendestellen. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist, sind es auch wirklich Wendestellen:

f^{'''} (0) = 36 \cdot 0^{2} - 16 = - 16 < 0

Also ist $x_{W_{1}} = 0$ eine Wendestelle.

f^{'''} (\frac{2}{\sqrt{3}}) = 36 \cdot {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} - 16 = 36 \cdot \frac{4}{3} - 16 = 48 - 16 = 32 > 0

Also ist auch $x_{W_{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ eine Wendestelle.

f^{'''} (- \frac{2}{\sqrt{3}}) = 36 \cdot {(- \frac{2}{\sqrt{3}})}^{2} - 16 = 36 \cdot \frac{4}{3} - 16 = 48 - 16 = 32 > 0

Auch $x_{W_{3}} = - \frac{2}{\sqrt{3}}$ ist eine Wendestelle.

Für die Wendepunkte braucht man noch die Funktionswerte der Wendestellen:

f (0) = \frac{3}{5} \cdot 0^{5} - \frac{8}{3} \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0 = 0

f (\frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{3}{5} \cdot {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{5} - \frac{8}{3} \cdot {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3} - 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \approx - 5.1833

f (- \frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{3}{5} \cdot {(- \frac{2}{\sqrt{3}})}^{5} - \frac{8}{3} \cdot {(- \frac{2}{\sqrt{3}})}^{3} - 2 \cdot (- \frac{2}{\sqrt{3}}) \approx 5.1833

Die gesuchten Wendepunkte sind also: $W_{1} (- \frac{2}{\sqrt{3}} | 5.1833)$ , $W_{2} (0 | 0)$ und $W_{3} (\frac{2}{\sqrt{3}} | - 5.1833)$ .

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