Aufgaben zur Lage von Punkten

Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der von den beiden Ebenen

$E_{1} : 2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 6$ und $E_{2} : - 6 x_{1} - 9 x_{2} - 2 x_{3} = 22$ den gleichen Abstand hat.

Tipp: Es gibt sehr viele Punkte dieser Art.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform

Wandle beide Ebenen in die Hessesche Normalenform um:

$E_{H N F 1} : \frac{2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 6}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 0$ $\Rightarrow E_{H N F 1} : \frac{2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 6}{3} = 0$

$E_{H N F 2} : \frac{- 6 x_{1} - 9 x_{2} - 2 x_{3} - 22}{\sqrt{(- 6)^{2} + (- 9)^{2} + (- 2)^{2}}} = 0$ $\Rightarrow E_{H N F 2} : \frac{- 6 x_{1} - 9 x_{2} - 2 x_{3} - 22}{11} = 0$

Für den Abstand eines Punktes $P (p_{1} | p_{2} | p_{3})$ von einer Ebene gilt allgemein:

$d (P, E) = | \frac{a \cdot p_{1} + b \cdot p_{2} + c \cdot p_{3} - d}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} |$

Setzt du den Koordinatenursprung $O (0 | 0 | 0)$ in die Hesseschen Normalenformen der beiden Ebenen ein, so erhältst du in beiden Fällen den Abstand $2$ .

Rechnerischer Nachweis:

Für die Ebene $E_{1}$ folgt:

$d (O, E_{1})$	$=$	$\| \frac{2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 6}{3} \|$
	↓	Setze $O (0 \| 0 \| 0)$ ein.
	$=$	$\| \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 0 - 6}{3} \|$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\| \frac{- 6}{3} \|$
	↓	Kürze und berechne den Betrag.
	$=$	$2$

Für die Ebene $E_{2}$ folgt:

$d (O, E_{2})$	$=$	$\| \frac{- 6 x_{1} - 9 x_{2} - 2 x_{3} - 22}{11} \|$
	↓	Setze $O (0 \| 0 \| 0)$ ein.
	$=$	$\| \frac{- 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 22}{11} \|$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\| \frac{- 22}{11} \|$
	↓	Kürze und berechne den Betrag.
	$=$	$2$

Beide Ebenen haben den Abstand $2$ vom Koordinatenursprung. Also ist $O (0 | 0 | 0)$ so ein gesuchter Punkt.

Alternative Lösung:

BeachteAusnahme

Die alternative Lösung funktioniert nur, wenn die beiden Ebenen nicht parallel zueinander sind.

Setze $E_{1} = E_{2}$

$\frac{2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 6}{3}$	$=$	$\frac{- 6 x_{1} - 9 x_{2} - 2 x_{3} - 22}{11}$	$\cdot 33$
	↓	Beseitige die Nenner durch Multiplikation mit dem Hauptnenner.
$\frac{2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} - 6}{3} \cdot 33$	$=$	$\frac{- 6 x_{1} - 9 x_{2} - 2 x_{3} - 22}{11} \cdot 33$
	↓	Kürze und vereinfache.
$22 x_{1} + 22 x_{2} - 11 x_{3} - 66$	$=$	$- 18 x_{1} - 27 x_{2} - 6 x_{3} - 66$	$+ 18 x_{1} + 27 x_{2} + 6 x_{3} + 66$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$40 x_{1} + 49 x_{2} - 5 x_{3}$	$=$	$0$

Du hast die Gleichung $40 x_{1} + 49 x_{2} - 5 x_{3} = 0$ erhalten. Jeder Punkt, der diese Gleichung erfüllt, hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand.

Z.B. der Punkt $P (1 | 0 | 8)$ erfüllt die gefundene Gleichung:

$40 x_{1} + 49 x_{2} - 5 x_{3}$	$=$	$0$
	↓	Setze $P (1 \| 0 \| 8)$ ein.
$40 \cdot 1 + 49 \cdot 0 - 5 \cdot 8$	$=$	$0$
$40 + 0 - 40$	$=$	$0$
$0$	$=$	$0 ✓$

Setzt du $P (1 | 0 | 8)$ in die Gleichung für die Abstandsberechnung eines Punktes von einer Ebene ein, so erhältst du bei beiden Ebenen den Abstand $4$ .

Also ist auch $P (1 | 0 | 8)$ so ein gesuchter Punkt.

Anmerkung: Man findet noch viele weitere Punkte, die von beiden Ebenen den gleichen Abstand haben.

Graphische Darstellung mithilfe des Applets

Mit der rechten Maustaste können die Ebenen gedreht werden.

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