Gemischte Aufgaben zu Zufallsgrößen

Bestimme die fehlenden Wahrscheinlichkeiten

$x_{i}$
-2
0
2
4
$P (X = x_{i})$
a
0,5a
$a^{2}$
0,24
=a

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zufallsgröße
Gleichung aufstellen
Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 oder 100% ergeben muss, kann eine Gleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt werden:
$a + 0,5 a + a^{2} + 0,24 = 1$
Gleichung lösen
Löse diese Gleichung mithilfe deines präferierten Lösungsverfahrens
$a + 0,5 a + a^{2} + 0,24$ $=$ $1$ $- 1$
↓
Vereinfache.
$a^{2} + 1,5 a - 0,76$ $=$ $0$
Setze in die Lösungsformel ein:
$a_{1,2} = \frac{- 1,5 \pm \sqrt{{1,5}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 0,76)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1,5 \pm \sqrt{5,29}}{2} = \frac{- 1,5 \pm 2,3}{2}$
und somit $a_{1} = 0,4$ (und $a_{2} = - 1,9$ , was kein sinnvolles Ergebnis ist, da Warscheinlichkeiten immer in $[0; 1]$ liegen.
Wahrscheinlichkeiten berechnen und überprüfen
Mit $a = 0,4$ können auch $P (X = 0)$ und $P (X = 2)$ berechnet werden.
$P (X = 0) = 0,5 \cdot a = 0,5 \cdot 0,4 = 0,2$
$P (X = 2) = a^{2} = {0,4}^{2} = 0,16$
Probe:
$P (X = - 2) + P (X = 0) + P (X = 2) + P (X = 4)$ $=$ $1$
$0,4 + 0,2 + 0,16 + 0,24$ $=$ $1$
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben. Nutze diese Eigenschaft, um eine Gleichung aufzustellen und zu lösen.
Du wirst die Mitternachtsformel oder p-q-Formel brauchen.
$x_{i}$
30
40
50
60
$P (X = x_{i})$
a
b
0,2
0,2
Es gilt $μ_{X} = 42$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zufallsgröße
Aufstellen der beiden Gleichungen
Die Eigenschaft der Wahrscheinlichkeitsverteilung, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten immer den Wert 1 hat, liefert
$a + b + 0,2 + 0,2$ $=$ $1$ $- 0,4$
$a + b$ $=$ $0,6$ $- b$
↓
bereite direkt für das Einsetzungsverfahren vor
$a$ $=$ $0,6 - b$
Für den Erwartungswert verwendest du die Formel und setzt mit dem gewünschten Wert gleich:
$E (X)$ $=$ $\sum_{x_{i} \in X}^{} x_{i} \cdot P (X = x_{i})$
↓
Setze auf beiden Seiten ein
$42$ $=$ $30 a + 40 b + 50 \cdot 0,2 + 60 \cdot 0,2$
↓
Vereinfache.
$42$ $=$ $30 a + 40 b + 22$ $- 22$
$20$ $=$ $30 a + 40 b$
Gleichungssystem lösen
Löse das System, z.B. mithilfe des Einsetzungsverfahrens.
$\begin{array}{lrcl} I & a & = & 0,6 - b \\ I I & 20 & = & 30 a + 40 b \end{array}$
I in II:
↓
$20$ $=$ $30 \cdot (0,6 - b) + 40 b$
$20$ $=$ $18 - 30 b + 40 b$ $- 18$
$2$ $=$ $10 b$ $: 10$
$0,2$ $=$ $b$
Setze b in I ein:
↓
$a$ $=$ $0,6 - b$
↓
Setze b=0,2 ein
$a$ $=$ $0,6 - 0,2$
$a$ $=$ $0,4$
fertige Wahrscheinlichkeitsverteilung
$x_{i}$
30
40
50
60
$P (X = x_{i})$
0,4
0,2
0,2
0,2
Da du zwei Unbekannte a und b hast, brauchst du zwei Gleichungen, um die Werte zu ermitteln:
Die Eigenschaft, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in der Wahrscheinlichkeitsverteilung 1 ergibt ( $\sum_{x_{i} \in X}^{} P (X = x_{i}) = 1$ )
Die Angabe zum Erwartungswert $\sum_{x_{i} \in X}^{} x_{i} \cdot P (X = x_{i}) = 42$
Das entstandene Gleichungssystem löst du anschließend.

$x_{i}$	-2	0	2	4
$P (X = x_{i})$	a	0,5a	$a^{2}$	0,24

$x_{i}$	30	40	50	60
$P (X = x_{i})$	a	b	0,2	0,2

$x_{i}$	30	40	50	60
$P (X = x_{i})$	0,4	0,2	0,2	0,2

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$a + 0,5 a + a^{2} + 0,24$	$=$	$1$	$- 1$
	↓	Vereinfache.
$a^{2} + 1,5 a - 0,76$	$=$	$0$

$P (X = - 2) + P (X = 0) + P (X = 2) + P (X = 4)$	$=$	$1$
$0,4 + 0,2 + 0,16 + 0,24$	$=$	$1$

$a + b + 0,2 + 0,2$	$=$	$1$	$- 0,4$
$a + b$	$=$	$0,6$	$- b$
	↓	bereite direkt für das Einsetzungsverfahren vor
$a$	$=$	$0,6 - b$

$E (X)$	$=$	$\sum_{x_{i} \in X}^{} x_{i} \cdot P (X = x_{i})$
	↓	Setze auf beiden Seiten ein
$42$	$=$	$30 a + 40 b + 50 \cdot 0,2 + 60 \cdot 0,2$
	↓	Vereinfache.
$42$	$=$	$30 a + 40 b + 22$	$- 22$
$20$	$=$	$30 a + 40 b$

I in II:
	↓
$20$	$=$	$30 \cdot (0,6 - b) + 40 b$
$20$	$=$	$18 - 30 b + 40 b$	$- 18$
$2$	$=$	$10 b$	$: 10$
$0,2$	$=$	$b$

Setze b in I ein:
	↓
$a$	$=$	$0,6 - b$
	↓	Setze b=0,2 ein
$a$	$=$	$0,6 - 0,2$
$a$	$=$	$0,4$

Gemischte Aufgaben zu Zufallsgrößen

Gleichung aufstellen

Gleichung lösen

Wahrscheinlichkeiten berechnen und überprüfen

Aufstellen der beiden Gleichungen

Gleichungssystem lösen

fertige Wahrscheinlichkeitsverteilung