Mathe Funktionen Kurvendiskussion Krümmungsverhalten und Wendepunkte Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Bestimmung des Krümmungsverhaltens

Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Bestimmung des Krümmungsverhaltens

Bestimme die Wendepunkte der Funktionsschar $f_{a} (x) = a^{2} x^{3} + a^{3} x^{2} + 2 a x$ $(a \neq 0)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkte und Terrassenpunkte

Bestimme die ersten drei Ableitungen:

f_{a}^{'} (x) = 3 a^{2} x^{2} + 2 a^{3} x + 2 a

f_{a}^{''} (x) = 6 a^{2} x + 2 a^{3}

f_{a}^{'''} (x) = 6 a^{2}

Setze die zweite Ableitung Null und forme nach x um:

0 = 6 a^{2} x + 2 a^{3}

x = - \frac{1}{3} a

Nun haben wir einen Kandidaten für eine Wendestelle. Dieser muss aber keine Wendestelle sein. Wenn die dritte Ableitung an diesen Stellen ungleich Null ist, ist auch die hinreichende Bedingung erfüllt:

f_{a}^{'''} (- \frac{1}{3} a) = 6 a^{2}

Da $a \neq 0$ gilt, ist die dritte Ableitung ungleich Null und $x = - \frac{1}{3} a$ ist eine Wendestelle.

Um die Aufgabe vollständig zu lösen, benötigst du noch den Funktionswert an der Wendestelle.

$f (- \frac{1}{3} a) = a^{2} {(- \frac{1}{3} a)}^{3} + a^{3} {(- \frac{1}{3} a)}^{2} + 2 a (- \frac{1}{3} a) = - \frac{1}{27} a^{5} + \frac{1}{9} a^{5} - \frac{2}{3} a^{2} = \frac{2}{27} a^{5} - \frac{2}{3} a^{2}$

Die Funktion hat also einen Wendepunkt bei $W (- \frac{1}{3} a | \frac{2}{27} a^{5} - \frac{2}{3} a^{2})$ .

Obwohl es sich um eine Funktionenschar handelt, gehst du wie gewohnt vor:

Ableitungen bilden
Nullstellen der zweiten Ableitung suchen (notwendiges Kriterium)
Hinreichendes Kriterium, zum Beispiel über $f_{a}^{'''} (x) \neq 0$ prüfen
In f einsetzen, um y-Koordinate zu ermitteln

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