Aufgaben zu Wurzelgleichungen

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

$\sqrt{x^2-8}\text{}$ Prüfe, wann der Radikand $x^2-8$ größer oder gleich null ist.

Der Radikand ist größer oder gleich null, wenn $x\le -\sqrt{8}$ und/oder $x\ge \sqrt{8}$ ist.

Damit ergibt sich der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzel $\sqrt{x^2-8}\text{}$ und auch für die Wurzelgleichung $\sqrt{x^2-8}=1:$$$

Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $$kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x\in 𝔻$ ist.

2. Auflösung der Wurzelgleichung

Du hast als mögliche Lösung $x=-3$ und/oder $x=3$ erhalten.

3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $𝔻=ℝ\backslash ]-\sqrt{8};\sqrt{8}[$ für die Wurzelgleichung. Führe nun eine Probe durch:

Probe für $x=-3$:

Setze $x=-3$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x^2-8}=1$ ein:

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x=-3$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x=3$:

Setze $x=3$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{x^2-8}=1$ ein:

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x=3$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

Die Lösungsmenge für die Wurzelgleichung ist: