Aufgaben zu Wurzelgleichungen

Bestimme rechnerisch die Lösung der Wurzelgleichung.

\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{x - 1,5} = \frac{6}{\sqrt{2 x - 1}}

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.

Die erste Wurzel: $\sqrt{2 x - 1} $

Prüfe, wann der Radikand $2 x - 1$ größer oder gleich null ist.

$2 x - 1$	$\geq$	$0$	$+ 1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$2 x$	$\geq$	$1$	$: 2$
$x$	$\geq$	$\frac{1}{2}$

Der Definitionsbereich für diese Wurzel ist:

𝔻 = {x \in ℝ | x \geq \frac{1}{2}}

Die zweite Wurzel: $\sqrt{x - 1,5} $

Der Radikand ist für $x \geq 1,5$ größer oder gleich null.

Der Definitionsbereich für die zweite Wurzel $\sqrt{x - 1,5}$ ist demnach:

𝔻 = {x \in ℝ | x \geq 1,5}

Die dritte Wurzel $\sqrt{2 x - 1} $ ist gleich der ersten Wurzel. Allerdings steht die Wurzel im Nenner des Bruches. Die Wurzel muss deshalb größer null sein.

Der Definitionsbereich für die dritte Wurzel $\sqrt{2 x - 1}$ ist:

𝔻 = {x \in ℝ | x > \frac{1}{2}}

Der gemeinsame Gültigkeitsbereich für die Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die drei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.

Ab $x \geq 1,5$ überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.

Für die Wurzelgleichung $\underset{x \geq \frac{1}{2}}{\underset{⏟}{\sqrt{2 x - 1}}} + \underset{x \geq 1,5}{\underset{⏟}{\sqrt{x - 1,5}}} = \underset{x > \frac{1}{2}}{\underset{⏟}{\frac{6}{\sqrt{2 x - 1}}}}$ gilt dann:

𝔻 = {x \in ℝ | x \geq 1,5}

Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x \geq 1,5$ ist.

2. Beseitigung der Wurzel im Nenner

$\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{x - 1,5}$	$=$	$\frac{6}{\sqrt{2 x - 1}}$	$\cdot \sqrt{2 x - 1}$
	↓	Beseitige die Wurzel im Nenner.
$\sqrt{2 x - 1} \cdot \sqrt{2 x - 1} + \sqrt{x - 1,5} \cdot \sqrt{2 x - 1}$	$=$	$6$
	↓	Fasse zusammen.
$2 x - 1 + \sqrt{(x - 1,5) \cdot (2 x - 1)}$	$=$	$6$	$+ 1$
	↓	Die Wurzel muss allein auf einer Seite stehen
$2 x + \sqrt{(x - 1,5) \cdot (2 x - 1)}$	$=$	$7$	$- 2 x$
$\sqrt{(x - 1,5) \cdot (2 x - 1)}$	$=$	$7 - 2 x$

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

$\sqrt{(x - 1,5) \cdot (2 x - 1)}$	$=$	$7 - 2 x$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$(x - 1,5) \cdot (2 x - 1)$	$=$	$(7 - 2 x)^{2}$
	↓	Löse auf der linken Seite die Klammern auf und benutze eine binomische Formel auf der rechten Seite.
$2 x^{2} - x - 3 x + 1,5$	$=$	$49 - 28 x + 4 x^{2}$
	↓	Fasse auf der linken Seite zusammen.
$2 x^{2} - 4 x + 1,5$	$=$	$49 - 28 x + 4 x^{2}$	$- 2 x^{2} + 4 x - 1,5$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$0$	$=$	$2 x^{2} - 24 x + 47,5$

4. Erhaltene Gleichung lösen

Du hast die quadratische Gleichung $0 = 2 x^{2} - 24 x + 47,5$ erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab:

$a = 2$ , $b = - 24$ und $c = 47,5$

Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein:

$x_{1, 2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 2$ , $b = - 24$ und $c = 47,5$ ein
	$=$	$\frac{- (- 24) \pm \sqrt{(- 24)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 47,5}}{2 \cdot 2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{24 \pm \sqrt{576 - 380}}{4}$
	$=$	$\frac{24 \pm \sqrt{196}}{4}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\frac{24 \pm 14}{4}$

Du hast die Lösung $x_{1,2} = \frac{24 \pm 14}{4}$ erhalten. Dann folgt:

$x_{1} = \frac{24 - 14}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$ und $x_{2} = \frac{24 + 14}{4} = \frac{38}{4} = 9,5$

Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $𝔻 = {x \in ℝ | x \geq 1,5}$ für die Wurzelgleichung.

5. Probe für die erhaltenen Lösungen durchführen

Probe für $x = 2,5$ :

Setze $x = 2,5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{x - 1,5} = \frac{6}{\sqrt{2 x - 1}}$ ein:

$\sqrt{2 \cdot 2,5 - 1} + \sqrt{2,5 - 1,5}$	$=$	$\frac{6}{\sqrt{2 \cdot 2,5 - 1}}$
	↓	Fasse zusammen.
$\sqrt{4} + \sqrt{1}$	$=$	$\frac{6}{\sqrt{4}}$
	↓	Ziehe die Wurzeln.
$2 + 1$	$=$	$\frac{6}{2}$
	↓	Fasse zusammen bzw. kürze den Bruch.
$3$	$=$	$3 ✓$

Du hast eine wahre Aussage erhalten. $x = 2,5$ ist Lösung der Wurzelgleichung.

Probe für $x = 9,5$ :

Setze $x = 9,5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{2 x - 1} + \sqrt{x - 1,5} = \frac{6}{\sqrt{2 x - 1}}$ ein:

$\sqrt{2 \cdot 9,5 - 1} + \sqrt{9,5 - 1,5}$	$=$	$\frac{6}{\sqrt{2 \cdot 9,5 - 1}}$
	↓	Fasse zusammen.
$\sqrt{18} + \sqrt{8}$	$=$	$\frac{6}{\sqrt{18}}$	$\cdot \sqrt{18}$
	↓	Beseitige die Wurzel im Nenner.
$\sqrt{18} \cdot \sqrt{18} + \sqrt{8} \cdot \sqrt{18}$	$=$	$6$
	↓	Vereinfache
$18 + \sqrt{144}$	$=$	$6$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$18 + 12$	$=$	$6$
	↓	Fasse zusammen.
$30$	$=$	$6$

Du hast eine falsche Aussage erhalten. $x = 9,5$ ist keine Lösung der Wurzelgleichung.

6. Lösungsmenge angeben

𝕃 = {2,5}

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