Aufgabengruppe I

In einer Firma werden vier gleich große Pralinenkugeln, die vollständig mit Marzipan gefüllt sind, mit einem Durchmesser von jeweils 3 cm übereinander in eine Schachtel verpackt.

Die zylinderförmige Verpackung hat eine Höhe von $12,2 c m$ und einen Innendurchmesser von $3,2 c m$ . Berechnen Sie den prozentualen Anteil der Luft in der Schachtel am Innenvolumen der Schachtel nach dem Verpacken der vier Pralinen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
$a .) V_{1} Pk. = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3} \Rightarrow V_{1} Pk. = \frac{4}{3} \cdot π \cdot (1,5 c m)^{3}$
$V_{1} Pk. = 14,13 c m^{3}$
$b .) V_{4} Pk. = 4 \cdot V_{1} Pk. \Rightarrow V_{4} Pk. = 4 \cdot 14,13 c m^{3}$
$V_{4} Pk. = 56,52 c m^{3}$
$c .) V_{Zyl} = r^{2} \cdot π \cdot h \Rightarrow V_{Zyl} = (1,6 c m)^{2} \cdot 3,14 \cdot 12,2 c m$
$V_{Zyl} = 98,07 c m^{3}$
$d .) V_{Luft} = V_{Zyl} - V_{4} Pk. \Rightarrow V_{Luft} = 98,07 c m^{3} - 56,52 c m^{3}$
$V_{Luft} = 41,55 c m^{3}$
$e .) p_{Luft[%]} = \frac{V_{4} Pk.}{V_{Zyl}} \cdot 100 \Rightarrow p_{Luft[%]} = \frac{41,55 c m^{3}}{98,07 c m^{3}} \cdot 100$
$p_{Luft[%]} = 42,4 %$
Der Anteil von Luft in der Verpackung beträgt, $42,4 %$
Hinweis: in dieser Rechnung wurde mit dem Näherungswert $3,14$ für $π$ gerechnet.
Wenn du am Taschenrechner die $π$ -Taste benutzt, erhältst du etwas abweichende Werte bei a) bis d):
$V_{1} Pk. = 14,14 {cm}^{3}$ , $V_{4} Pk. = 56,55 {cm}^{3}$ , $V_{Zyl} = 98,12 {cm}^{3}$ und $V_{Luft} = 41,57 {cm}^{3}$ . Der Prozentwert in e) ist unverändert.
Lösungsweg:
a) Berechne das Volumen einer Pralinenkugel.
b) Berechne das Gesamtvolumen der 4 Pralinenkugeln.
c) Berechne das Volumen der zylinderförmigen Verpackung.
d) Berechne die Differenz des Volumens der zylinderförmigen Verpackung und
dem Gesamtvolumens der 4 Pralinenkugeln.
e.) Berechne den prozentualen Anteil der Luft in der Schachtel am Innenvolumen
der Schachtel nach dem Verpacken der vier Pralinen.
Jede Pralinenkugel soll mit einer dünnen Blattgoldschicht überzogen werden. Berechnen Sie, wie viele $c m^{2}$ Blattgold für eine Pralinenkugel mindestens benötigt werden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts einer Kugel lautet:
$O_{Kugel} = 4 \cdot π \cdot r^{2}$
Setze den Radius der Kugel in die Formel ein $\Rightarrow r = \frac{3 c m}{2}$
$O_{Kugel} = 4 \cdot 3,14 \cdot 2,25 c m^{2}$
$O_{Kugel} = 28,26 c m^{2}$
Für eine Pralinenkugel benötigt man $28,26 c m^{2}$ Blattgold.
Bestimmen Sie die Masse einer massiven Kugel aus Gold mit einem Volumen von $753 m m^{3}$ . Dabei wiegt ein $1 c m^{3}$ Gold $19,3 g$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel
$V = 753 {m m}^{3}$ ; die Dichte von Gold: $p = \frac{19,3 g}{c m^{3}}$
Rechne das Volumen der Goldkugel von $m m^{3}$ in $c m^{3}$ um.
$1 c m = 10 m m \Rightarrow 1 c m^{3} = 1000 m m^{3}$
$753 m m^{3} = \frac{753}{1000} c m^{3} = 0,753 c m^{3}$
$m = V \cdot p \Rightarrow m = 0,753 c m^{3} \cdot \frac{19,3 g}{c m^{3}}$
$m = 14,5 g$
Die Masse der Goldkugel beträgt $14,5 g .$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org