Aufgabengruppe I

Lösen Sie die folgenden Aufgaben:

Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der nach oben geöffneten Normalparabel $p_{1}$ mit dem Scheitelpunkt $S_{1} (– 4 | 1)$ in der Normalform.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Der Scheitel der Parabel $p_{1}$ ist laut Angabe: $S_{1} (- 4 | 1)$
Die Scheitelform lautet:
$f (x) = a (x - d)^{2} + e$
Setze die entsprechenden Werte des Scheitels $S_{1}$ ein.
$p_{1} : y = (x + 4)^{2} + 1$
die Normalform ist dann:
$p_{1} : y = x^{2} + 8 x + 17$
Die nach unten geöffnete Normalparabel $p_{2}$ geht durch die Punkte $A (– 4 | 1)$ und $B (0 | 1)$ . Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von $p_{2}$ in der Scheitelpunktform und geben Sie den Scheitelpunkt $S_{2}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen für quadratische Funktionen
Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:
$f (x) = a x^{2} + b x + c$
Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.
Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a = - 1$
$Aus A (- 4 | 1) : (I) 1 = - 1 \cdot (- 4)^{2} + b \cdot (- 4) + c$
$Aus B (0 | 1) : (I I) 1 = - 1 \cdot (0)^{2} + b \cdot (0) + c \Rightarrow c = 1$
setze $c$ in $(I)$ ein und berechne $b$
$(I) 1$ $=$ $= - 16 - 4 b + 1$ $+ 4 b - 1$
$4 b$ $=$ $- 16$ $: - 4$
$b$ $=$ $- 4$
Die Normalform von $p_{2}$ lautet:
$p_{2} : y = - x^{2} - 4 x + 1$
Umformen der allgemeinen Form von $p_{2}$ in die Scheitelpunktform:
$p_{2} : y = - x^{2} - 4 x + 1$
$p_{2} : y = - (x + 4 x - 1)$
$p_{2} : y = - (x + 2)^{2} + 4 + 1$
$p_{2} : y = - (x + 2)^{2} + 5$
$S_{2} (- 2 | 5)$
oder, du kannst auch gleich die Scheitelpunktform ermitteln:
Die Funktionswerte von $A$ und $B$ sind gleich nämlich: $y_{A} = y_{B} = 1$
d.h. es gilt: $x_{S} = \frac{x_{A} + x B}{2} \Rightarrow x_{S} = \frac{- 4 + 0}{2} \Rightarrow x_{S} = - 2$
setze $x_{S}$ und z.B. $x_{A}$ in die Scheitelpunktform $(x - x_{S})^{2} + y_{S}$ ein und berechne $y_{S}$ .
$- (- 4 + 2)^{2} + y_{S} = 1 \Rightarrow y_{S} = 1 + 4 \Rightarrow y_{S} = 5$
Die Scheitelpunkform lautet dann: $p_{2} : y = - (x + 2)^{2} + 5 \Rightarrow S_{2} (- 2 | 5)$
Bestimmen Sie zeichnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte $Q$ und $R$ der beiden Normalparabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ in einem Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm. Geben Sie $Q$ und $R$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel zeichnen
$Koordinaten der Schnittpunkte: Q (- 4 | 1) R (- 2 | 5)$
Die Normalparabeln $p_{3} : y = x^{2} + 2 x – 2$ sowie $p_{4} : y = – x^{2} – 2 x + 4$ schneiden sich in den Punkten $M$ und $N$ . Berechnen Sie die Koordinaten von $M$ und $N$ und geben Sie beide Punkte an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Berechne die Schnittpunkte $M$ und $N$ der Normalparabel $p_{3} :$ $y = x^{2} + 2 x - 2$
mit der Normalparabel $p_{4} : y = – x^{2} – 2 x + 4$ , indem du die Funktionsterme gleichsetzt und diese Gleichung anschließend nach $x$ auflöst.
$x^{2} + 2 x – 2$ $=$ $- x^{2} - 2 x + 4$ $+ x^{2} + 2 x$
↓
addiere
$2 x^{2} + 4 x - 2$ $=$ $4$ $- 4$
↓
subtrahiere
$2 x^{2} + 4 x - 6$ $=$ $0$ $: 2$
↓
dividiere
$x^{2} + 2 x - 3$ $=$ $0$
Löse jetzt die Quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow x_{1,2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$
$x_{1,2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$
$x_{1,2} = \frac{- 2 \pm 4}{2 \cdot 1} = - 1 \pm 2$
$x_{1} = - 3$
$x_{2} = 1$
Setze $x_{1}$ und $x_{2}$ in z.B. $p_{3} : y = x^{2} + 2 x - 2$ ein und bestimme $y_{1}$ und $y_{2}$ .
Du kannst $x_{1}$ und $x_{2}$ auch in $p_{4} : y = - x^{2} - 2 x + 4$ einsetzen.
$y_{1} = 1 \cdot (- 3)^{2} + 2 \cdot (- 3) - 2 \Rightarrow y_{1} = 9 - 8 \Rightarrow M (- 3 | 1)$
$y_{2} = 1 \cdot (1)^{2} + 2 \cdot 1 - 2 \Rightarrow y_{2} = 1 + 0 \Rightarrow N (1 | 1)$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$(I) 1$	$=$	$= - 16 - 4 b + 1$	$+ 4 b - 1$
$4 b$	$=$	$- 16$	$: - 4$
$b$	$=$	$- 4$

$x^{2} + 2 x – 2$	$=$	$- x^{2} - 2 x + 4$	$+ x^{2} + 2 x$
	↓	addiere
$2 x^{2} + 4 x - 2$	$=$	$4$	$- 4$
	↓	subtrahiere
$2 x^{2} + 4 x - 6$	$=$	$0$	$: 2$
	↓	dividiere
$x^{2} + 2 x - 3$	$=$	$0$