Aufgaben zu Wurzelgleichungen

Löse die folgenden Wurzelgleichungen.

$\sqrt{50 - x^{2}} = x$
- 5
- -5
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
$\sqrt{50 - x^{2}}$ : Prüfe, wann der Radikand $50 - x^{2}$ größer oder gleich $0$ ist.
$50 - x^{2}$ $\geq$ $0$ $+ x^{2}$
$50$ $\geq$ $x^{2}$
Du hast die Ungleichung $x^{2} \leq 50$ erhalten. Sie ist wahr, wenn $x \in [- \sqrt{50}; + \sqrt{50}]$ .
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\underset{- \sqrt{50} \leq x \leq \sqrt{50}}{\underset{⏟}{\sqrt{50 - x^{2}}}} = x$ ist:
$𝔻 = [- \sqrt{50}; + \sqrt{50}]$
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x \in 𝔻$ ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
$\sqrt{50 - x^{2}}$ $=$ $x$ $()^{2}$
↓
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$50 - x^{2}$ $=$ $x^{2}$ $+ x^{2}$
↓
Löse nach $x$ auf.
$50$ $=$ $2 x^{2}$ $: 2$
$25$ $=$ $x^{2}$ $\sqrt{}$
$x_{1,2}$ $=$ $\pm 5$
Du hast die beiden Lösungen $x = - 5$ und/oder $x = 5$ erhalten.
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel:
$- 5 \geq - \sqrt{50} \approx - 7,07$ und $5 \leq \sqrt{50} \approx 7,07$
4. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für $x = - 5$ :
Setze $x = - 5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{50 - x^{2}} = x$ ein:
$\sqrt{50 - (- 5)^{2}}$ $=$ $- 5$
↓
Vereinfache.
$\sqrt{50 - 25}$ $=$ $- 5$
↓
Vereinfache.
$\sqrt{25}$ $=$ $- 5$
↓
Ziehe die Wurzel
$5$ $=$ $- 5$
Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist $x = - 5$ keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für $x = 5$ :
Setze $x = 5$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{50 - x^{2}} = x$ ein:
$\sqrt{50 - 5^{2}}$ $=$ $5$
↓
Vereinfache.
$\sqrt{50 - 25}$ $=$ $5$
↓
Vereinfache.
$\sqrt{25}$ $=$ $5$
↓
Ziehe die Wurzel
$5$ $=$ $5$
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x = 5$ Lösung der Wurzelgleichung.
5. Lösungsmenge angeben
$𝕃 = {5}$
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
$\sqrt{5 - 4 x^{2}} = x^{2}$
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
$\sqrt{5 - 4 x^{2}}$ : Prüfe, wann der Radikand $5 - 4 x^{2}$ größer oder gleich null ist.
$5 - 4 x^{2}$ $\geq$ $0$ $+ 4 x^{2}$
↓
Löse nach $x$ auf.
$5$ $\geq$ $4 x^{2}$ $: 4$
$\frac{5}{4}$ $\geq$ $x^{2}$
Du hast die Ungleichung $x^{2} \leq \frac{5}{4}$ erhalten. Sie ist wahr, wenn $x \in [- \sqrt{\frac{5}{4}}; + \sqrt{\frac{5}{4}}]$ .
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung $\underset{- \sqrt{\frac{5}{4}} \leq x \leq \sqrt{\frac{5}{4}}}{\underset{⏟}{\sqrt{5 - 4 x^{2}}}} = x^{2}$ ist:
$𝔻 = [- \sqrt{\frac{5}{4}}; + \sqrt{\frac{5}{4}}]$
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass $x \in 𝔻$ ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
$\sqrt{5 - 4 x^{2}}$ $=$ $x^{2}$ $()^{2}$
↓
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$5 - 4 x^{2}$ $=$ $x^{4}$ $+ 4 x^{2} - 5$
↓
Löse nach $x$ auf.
$0$ $=$ $x^{4} + 4 x^{2} - 5$
4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast eine biquadratische Gleichung $x^{4} + 4 x^{2} - 5 = 0$ erhalten.
Diese Gleichung lässt sich lösen, indem man $x^{2}$ durch $z$ ersetzt (substituiert).
Da $x^{4} = {(x^{2})}^{2}$ ist, wird $x^{4}$ durch die Substitution zu $z^{2}$ .
$z^{2} + 4 z - 5 = 0$
Du hast nun die quadratische Gleichung $z^{2} + 4 z - 5 = 0$ erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für $p$ und $q$ ab:
$p = 4$ und $q = - 5$
Setze die Werte in die pq-Formel ein:
$z_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = 4$ und $q = - 5$ ein.
$=$ $- \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - (- 5)}$
↓
Vereinfache.
$=$ $- 2 \pm \sqrt{4 + 5}$
↓
Vereinfache.
$=$ $- 2 \pm \sqrt{9}$
↓
Ziehe die Wurzel.
$=$ $- 2 \pm 3$
$z_{1}$ $=$ $- 5$
$z_{2}$ $=$ $1$
Du hast die beiden Werte $z_{1} = - 5$ und $z_{2} = 1$ erhalten. Nun muss wieder resubstituiert werden: $x = \pm \sqrt{z}$
Da $x^{2} = z$ (also $x = \pm \sqrt{z}$ ) gesetzt wurde, können nun die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt werden:
$z_{1} = - 5$ also ist $x^{2} = - 5 \Rightarrow$ keine Lösung
$z_{2} = 1$ also ist $x^{2} = 1 \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{1} = \pm 1$
Somit ist $x = - 1$ und/oder $x = 1$ .
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich $𝔻 = [- \sqrt{\frac{5}{4}}; + \sqrt{\frac{5}{4}}]$ für die Wurzel:
$- 1 \geq - \sqrt{\frac{5}{4}} \approx - 1,12$ und $1 \leq \sqrt{\frac{5}{4}} \approx 1,12$
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für $x = - 1$ :
Setze $x = - 1$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{5 - 4 x^{2}} = x^{2}$ ein:
$\sqrt{5 - 4 \cdot (- 1)^{2}}$ $=$ $(- 1)^{2}$
↓
Vereinfache.
$\sqrt{5 - 4}$ $=$ $1$
↓
Vereinfache.
$\sqrt{1}$ $=$ $1$
↓
Ziehe die Wurzel
$1$ $=$ $1$
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist $x = - 1$ Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für $x = 1$ :
Setze $x = 1$ in die Wurzelgleichung $\sqrt{5 - 4 x^{2}} = x^{2}$ ein:
$\sqrt{5 - 4 \cdot 1^{2}}$ $=$ $1^{2}$
↓
Vereinfache.
$\sqrt{5 - 4}$ $=$ $1$
↓
Vereinfache.
$\sqrt{1}$ $=$ $1$
↓
Ziehe die Wurzel
$1$ $=$ $1$
Du hast wieder eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch $x = 1$ Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
$𝕃 = {- 1; 1}$
Folgende Schritte sind erforderlich:
Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
Anhält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Erhaltene Gleichung lösen
Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.

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$\sqrt{50 - x^{2}}$	$=$	$x$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$50 - x^{2}$	$=$	$x^{2}$	$+ x^{2}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$50$	$=$	$2 x^{2}$	$: 2$
$25$	$=$	$x^{2}$	$\sqrt{}$
$x_{1,2}$	$=$	$\pm 5$

$\sqrt{50 - (- 5)^{2}}$	$=$	$- 5$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{50 - 25}$	$=$	$- 5$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{25}$	$=$	$- 5$
	↓	Ziehe die Wurzel
$5$	$=$	$- 5$

$\sqrt{50 - 5^{2}}$	$=$	$5$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{50 - 25}$	$=$	$5$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{25}$	$=$	$5$
	↓	Ziehe die Wurzel
$5$	$=$	$5$

$5 - 4 x^{2}$	$\geq$	$0$	$+ 4 x^{2}$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$5$	$\geq$	$4 x^{2}$	$: 4$
$\frac{5}{4}$	$\geq$	$x^{2}$

$\sqrt{5 - 4 x^{2}}$	$=$	$x^{2}$	$()^{2}$
	↓	Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
$5 - 4 x^{2}$	$=$	$x^{4}$	$+ 4 x^{2} - 5$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$0$	$=$	$x^{4} + 4 x^{2} - 5$

$z_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = 4$ und $q = - 5$ ein.
	$=$	$- \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - (- 5)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$- 2 \pm \sqrt{4 + 5}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$- 2 \pm \sqrt{9}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$- 2 \pm 3$
$z_{1}$	$=$	$- 5$
$z_{2}$	$=$	$1$

$\sqrt{5 - 4 \cdot (- 1)^{2}}$	$=$	$(- 1)^{2}$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{5 - 4}$	$=$	$1$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{1}$	$=$	$1$
	↓	Ziehe die Wurzel
$1$	$=$	$1$

$\sqrt{5 - 4 \cdot 1^{2}}$	$=$	$1^{2}$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{5 - 4}$	$=$	$1$
	↓	Vereinfache.
$\sqrt{1}$	$=$	$1$
	↓	Ziehe die Wurzel
$1$	$=$	$1$

Aufgaben zu Wurzelgleichungen

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

4. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

5. Lösungsmenge angeben

1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen

2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren

4. Erhaltene Gleichung lösen

5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen

6. Lösungsmenge angeben