Aufgaben zum Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Bestimme alle Werte $α \in [- 360 °; 720 °]$ für die die Gleichung erfüllt ist. Gib die Werte einzeln und auf ganze Grad gerundet ins Eingabefeld ein.

(Beispiel: sind die Lösungen $α_{1} = 33,75 °$ und $α_{2} = 146,25 °$ , dann gib zunächst $34$ ein und überprüfe die Lösung und anschließend $146$ )

$\sin α = 0,5$ (6 Lösungen)
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus und Kosinus am Einheitskreis
erste Lösung mit Taschenrechner bestimmen
$\sin α$ $=$ $0,5$ $\sin^{- 1} □$
$α$ $=$ $30 °$
weitere Lösung zwischen 0° und 360°
Der gefundene Winkel liegt im I. Quadranten. Der nächste Winkel, der den gleichen Sinuswert hat, liegt im II. Quadranten:
$s i n (30 °) = s i n (180 ° - 30 °) = s i n (150 °)$
$α_{2} = 30 °$
Lösungen zwischen 0° und -360°
Die beiden Lösungen können mithilfe der Beziehung $s i n (α) = s i n (k \cdot 360 ° + α)$ mit $k = - 1$ in den Bereich [-360°;0] übertragen werden:
$s i n (30 °) = s i n (- 1 \cdot 360 ° + 30 °) = s i n (- 330 °)$
$s i n (150 °) = s i n (- 1 \cdot 360 ° + 150 °) = s i n (- 210 °)$
also $α_{3} = - 330 °$ und $α_{4} = - 210 °$
Lösungen zwischen 360° und 720°
Die beiden Lösungen 30° und 150° können mithilfe der Beziehung $s i n (α) = s i n (k \cdot 360 ° + α)$ mit $k = 1$ in den Bereich [360°;720°] übertragen werden:
$s i n (30 °) = s i n (1 \cdot 360 ° + 30 °) = s i n (390 °)$
$s i n (150 °) = s i n (1 \cdot 360 ° + 150 °) = s i n (510 °)$
also $α_{5} = 390 °$ und $α_{6} = 510 °$
Bestimme eine Lösung mit dem Taschenrechner.
Weitere Lösungen bekommst du durch die Zusammenhänge am Einheitskreis und die Zusammenhänge für negative Winkel und Winkel >360°
$\cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (6 Lösungen)
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus und Kosinus am Einheitskreis
erste Lösung mit Taschenrechner bestimmen
$c o s α$ $=$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $c o s^{-} 1 (□)$
$α$ $=$ $45 °$
weitere Lösung zwischen 0° und 360°
Der gefundene Winkel liegt im I. Quadranten. Der nächste Winkel, der den gleichen Kosinuswert hat, liegt im IV. Quadranten:
$c o s (45 °) = c o s (360 ° - 45 °) = c o s (315 °)$
also $α_{2} = 315 °$
Lösungen zwischen 0° und -360°
Die beiden Lösungen können mithilfe der Beziehung $c o s (α) = c o s (k \cdot 360 ° + α)$ mit $k = - 1$ in den Bereich [-360°;0] übertragen werden:
$c o s (45 °) = c o s (- 1 \cdot 360 ° + 45 °) = c o s (- 315 °)$
$c o s (315 °) = c o s (- 1 \cdot 360 ° + 315 °) = c o s (- 45 °)$
also $α_{3} = - 310 °$ und $α_{4} = - 45 °$
Lösungen zwischen 360° und -720°
Die beiden Lösungen können mithilfe der Beziehung $c o s (α) = c o s (k \cdot 360 ° + α)$ mit $k = 1$ in den Bereich [360°;720°] übertragen werden:
$c o s (45 °) = c o s (1 \cdot 360 ° + 45 °) = c o s (405 °)$
$c o s (315 °) = c o s (1 \cdot 360 ° + 315 °) = c o s (675 °)$
also $α_{5} = 405 °$ und $α_{6} = 675 °$
Bestimme eine Lösung mit dem Taschenrechner.
Weitere Lösungen bekommst du durch die Zusammenhänge am Einheitskreis und die Zusammenhänge für negative Winkel und Winkel >360°
$\sin (α) = - 1$ (? Lösungen)
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Besonderer Sinus-Wert!
$\sin (α) = - 1$ gilt nur einmal im Einheitskreis für Winkel zwischen 0° und 360°, nämlich für $α_{1} = 270 °$
Weitere Winkel
Weitere Lösungen erhältst du, indem du in den Zusammenhang $\sin (α) = \sin (k \cdot 360 ° + α)$ die Werte $k = 1$ und $k = - 1$ einsetzt:
$\sin (270 °) = \sin (- 1 \cdot 360 ° + 270 °) = \sin (- 90 °)$
$\sin (270 °) = \sin (1 \cdot 360 ° + 270 °) = \sin (630 °)$
also $α_{2} = - 90 °$ und $α_{3} = 630 °$
Bestimme eine Lösung mit dem Taschenrechner.
Weitere Lösungen bekommst du durch die Zusammenhänge am Einheitskreis und die Zusammenhänge für negative Winkel und Winkel >360°

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org

$c o s α$	$=$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$c o s^{-} 1 (□)$
$α$	$=$	$45 °$

$\sin α$	$=$	$0,5$	$\sin^{- 1} □$
$α$	$=$	$30 °$

Aufgaben zum Sinus und Kosinus am Einheitskreis

erste Lösung mit Taschenrechner bestimmen

weitere Lösung zwischen 0° und 360°

Lösungen zwischen 0° und -360°

Lösungen zwischen 360° und 720°

erste Lösung mit Taschenrechner bestimmen

weitere Lösung zwischen 0° und 360°

Lösungen zwischen 0° und -360°

Lösungen zwischen 360° und -720°

Besonderer Sinus-Wert!

Weitere Winkel