Aufgaben zum Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Vorüberlegungen

• Der Winkel 30° liegt im I. Quadranten

• Im II. Quadranten gibt es einen Winkel mit gleichem Sinuswert, die Beziehung lautet $\sin \left(\alpha \right)=\sin (180°-\alpha )$

• Die Winkel im III. und IV. Quadranten sind betragsgleich, aber nicht wertgleich (negative Werte)

• Durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von 360° können die beiden Lösungen aus dem I. und II. Quadranten für negative Winkelwerte/große Winkelwerte übertragen werden. Die Beziehung lautet $\sin \left(\alpha \right)=\sin (\alpha +k\cdot 360°),k\in \mathbb{Z}$ .

Analyse der Antwortmöglichkeiten

• $sin(150°)$: Da $150°=180°-\alpha$, gilt $\Rightarrow \sin (150°)=\sin (30°)$

• $sin(210°)$: Da $210°=180°+30°$ ist der Sinus hier zwar betragsgleich, aber nicht wertgleich, der Sinuswert ist für Winkel im III. Quadranten nämlich negativ. $\Rightarrow sin(210°)=-sin(30°)$

• $sin(330°)$: Da $330°=360°-30°$ ist der Sinus hier ebenfalls betragsgleich, aber auch für Winkel im IV. Quadranten ist der Sinuswert negativ. $\Rightarrow sin(330°)=-sin(30°)$

• $sin(120°)$: Dieser Winkel liegt zwar im II. Quadranten, aber da $120\ne 180°-30°$ sind die Sinuswerte nicht wertgleich ($90°+\alpha$ ist keine gültige Beziehung. $\Rightarrow sin(120°)\ne sin(30°)$

Vorüberlegungen

Es ist nützlich, die Winkel, die größer sind als 90° auf einen spitzen Winkel im I. Quadranten zurückzuführen, da die Beziehungsgleichungen für einen Winkel $0°<\alpha <90°$formuliert sind.

• Der Winkel 230° liegt im III. Quadranten

• Den "zugehörigen" spitzen Winkel ${\alpha }^{\prime }$ im I. Quadranten erhält man durch ${\alpha }^{\prime }+180°=230\iff {\alpha }^{\prime }=230°-180°=50°$

• Im IV. Quadranten gibt es einen Winkel mit gleichem Sinuswert, die Beziehung lautet $\sin \left({\alpha }^{\prime }\right)=\sin (360°-{\alpha }^{\prime })$

• Die Winkel im I. und II. Quadranten sind betragsgleich, aber nicht wertgleich (positive Werte)

• Durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von 360° können die beiden Lösungen aus dem III. und IV. Quadranten für negative Winkelwerte/große Winkelwerte übertragen werden. Die Beziehung lautet $\sin \left(\alpha \right)=\sin (\alpha +k\cdot 360°),k\in \mathbb{Z}$ .

Analyse der Antwortmöglichkeiten

Verwende ${\alpha }^{\prime }=50°$aus den Vorüberlegungen für die Beziehungen, denn $sin(230°)=-sin(50°)$ und die Beziehungsgleichungen sind nur für spitze Winkel.

• $sin(310°)$: Da $310°$ im IV. Quadranten und $310°=360°-{\alpha }^{\prime }=360°-50°$, gilt $\Rightarrow \sin (230°)=\sin (310°)$

• $-sin(310°)$: Da du gerade herausgefunden hast, dass $sin(230°)=sin(310°)$ und gleichzeitig nicht $sin(230°)=0$, ist die Aussage falsch. $\Rightarrow sin(230°)\ne -sin(310°)$

• $-sin(50°)$: Da $50°$ im I. Quadranten liegt und $230°=180°+50°$ ist der Sinus hier nur betragsgleich, nicht wertgleich. Durch das Minus vor dem Term wird er wertgleich. $\Rightarrow sin(230°)=-sin(50°)$

• $sin(590°)$: Da $590°=1\cdot 360°+230°$ist der Winkel an der gleichen Stelle einzutragen, nur eine Umrundung später. Der Sinus ist für diesen Winkel also wertgleich . $\Rightarrow sin(590°)=sin(230°)$

Vorüberlegungen

• Da der Sinus dem y-Wert des Punktes auf dem Einheitskreis entspricht, ist der Winkel $\alpha =90°$ genau die y-Achse.

• Der Sinus ist hier maximal und hat den Wert $sin(90°)=1$.

• Es gibt keinen weiteren Winkel in $[0°;360°]$, der den gleichen Sinuswert hat.

• Betragsgleich ist $sin(270°)=-1$

• Durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von 360° kann die Lösung für negative Winkelwerte/große Winkelwerte übertragen werden. Die Beziehung lautet $\sin \left(\alpha \right)=\sin (\alpha +k\cdot 360°),k\in \mathbb{Z}$

Analyse der Antwortmöglichkeiten

• $sin(270°)$: wie in den Vorüberlegungen beschrieben ist diese Lösung nur betragsgleich, nicht wertgleich $\Rightarrow \sin (90°)=-\sin (270°)\ne sin(270°)$

• $sin(360°)$: Da der Sinuswert der y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis beim Winkel entspricht und 360° der Vollkreis ist, ist der Punkt auf der x-Achse und die y-Koordinate ist 0 $\Rightarrow sin(90°)\ne sin(360°)$

• $sin(180°)$: Ähnlich zu 360° ist auch hier die y-Koordinate 0 $\Rightarrow sin(90°)\ne sin(180°)$

• $sin(-270°)$: Da $-270°=90°-360°$ befindest du dich hier am gleichen Punkt im Einheitskreis$\Rightarrow sin(90°)=sin(-270°)$

• $sin(450°)$: Da $450°=1\cdot 360°+90°$befindest du dich hier am gleichen Punkt im Einheitskreis $\Rightarrow sin(90°)=sin(450°)$