Aufgaben zur Lagebeziehung dreier Ebenen

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:

${\overrightarrow{n}}_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -4\end{array}\right)$, ${\overrightarrow{n}}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)$ ​und ${\overrightarrow{n}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right)\text{}$

Der Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}_1$ ist ein Vielfaches des Normalenvektors ${\overrightarrow{n}}_3$.

${\overrightarrow{n}}_1=(-2)\cdot {\overrightarrow{n}}_3$

Dies hat zur Folge, dass die Ebenen $E_1$ und $E_3$ parallel sind. Sie sind aber nicht identisch, da $E_1\ne a\cdot E_3$ ist.

Weiterhin gilt:

Der Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}_{E_2}$ ist kein Vielfaches der anderen beiden Normalenvektoren:

${\overrightarrow{n}}_{E_2}\ne k_1\cdot {\overrightarrow{n}}_{E_1}$​​ und ${\overrightarrow{n}}_{E_2}\ne k_2\cdot {\overrightarrow{n}}_{E_3}$

Die Ebene $E_2$ ist somit nicht parallel zu den beiden anderen Ebenen. Sie schneidet diese beiden Ebenen in zwei Schnittgeraden.

Berechnung der beiden Schnittgeraden

Erste Schnittgerade $g_{12}$: $E{\text{}}_1\cap E_2\text{}$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_1$​ und $E_2$​:

$\begin{array}{cccccccc}\mathrm{I}& -2\cdot x_1& +& 6\cdot x_2& -& 4\cdot x_3& =& 4\\ \mathrm{II}& 3\cdot x_1& -& 1\cdot x_2& +& 2\cdot x_3& =& 6\end{array}$

Rechne $\mathrm{I}+2\cdot \mathrm{II}\Rightarrow 4x_1+4x_2=16$$\Rightarrow x_1=4-x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\Rightarrow x_1=4-r$

Löse Gleichung $\mathrm{II}$ nach $x_3$​ auf und setze $x_1=4-r$ und $x_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l}{x}_1=4-1\cdot r\\ x_2=0+1\cdot r\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)\\ \text{}{x}_3=-3+2\cdot r\end{array}$

Die Schnittgerade $g_{12}$​ hat folgende Gleichung:

Zweite Schnittgerade $g_{12}$: $E{\text{}}_2\cap E_3\text{}$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_2$​ und $E_3$​:

$\begin{array}{cccccccc}\mathrm{II}& 3\cdot x_1& -& 1\cdot x_2& +& 2\cdot x_3& =& 6\\ \mathrm{III}& 1\cdot x_1& -& 3\cdot x_2& +& 2\cdot x_3& =& 2\end{array}$

Rechne $\mathrm{II}-\mathrm{III}\Rightarrow 2x_1+2x_2=4$$\Rightarrow x_1=2-x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\Rightarrow x_1=2-r$

Löse Gleichung $\mathrm{II}$ nach $x_3$​ auf und setze $x_1=2-r$ und $x_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$\begin{array}{l}{x}_1=2-1\cdot r\\ x_2=0+1\cdot r\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)\\ \text{}{x}_3=0+2\cdot r\end{array}$

Die Schnittgerade $g_{23}$​ hat folgende Gleichung:

Die Richtungsvektoren der beiden Schnittgeraden sind identisch. Somit sind die beiden Schnittgeraden parallel zueinander. Aber die beiden Geraden sind nicht identisch.