Aufgaben zur Lagebeziehung dreier Ebenen

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:

${\overrightarrow{n}}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right)$, ${\overrightarrow{n}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$und ${\overrightarrow{n}}_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander. Dies hat zur Folge, dass die Ebenen nicht identisch oder parallel zueinander sind.

${\overrightarrow{n}}_{E_1}\ne k_1\cdot {\overrightarrow{n}}_{E_2}$, ${\overrightarrow{n}}_{E_1}\ne k_2\cdot {\overrightarrow{n}}_{E_3}$ und ${\overrightarrow{n}}_{E_2}\ne k_3\cdot {\overrightarrow{n}}_{E_3}$

In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.

Der Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}_{E_3}$ der Ebene $E_3$ ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren ${\overrightarrow{n}}_{E_1}$ und ${\overrightarrow{n}}_{E_2}$ darstellbar: ${\overrightarrow{n}}_{E_3}=2\cdot {\overrightarrow{n}}_{E_2}-1\cdot {\overrightarrow{n}}_{E_1}$.

Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.

Schnittgeraden

$E{\text{}}_1\cap E_2$

Betrachte die Ebenengleichungen $E_1$ und $E_2$:

$\begin{array}{cccccccc}\mathrm{I}& 0\cdot x_1& +& 2\cdot x_2& +& 1\cdot x_3& =& 4\\ \mathrm{II}& 1\cdot x_1& +& 1\cdot x_2& +& 1\cdot x_3& =& 4\end{array}$

Rechne $\mathrm{I}-\mathrm{II}$$\Rightarrow -x_1+x_2=0$$\Rightarrow x_1=x_2$

Eine Variable ist frei wählbar.

Setze $x_2=r\Rightarrow x_1=r$

Löse Gleichung $\mathrm{II}$ nach $x_3$ auf und setze $x_1=r$ und $x_2=r$ ein:

Untereinander geschrieben:

$x_1=0+1\cdot r$

$x_2=0+1\cdot r\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$

$x_3=4-2\cdot r$

Die Schnittgerade $g_{12}$ hat folgende Gleichung:

$g_{12}:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 4\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)\text{}$

Die drei Schnittgeraden $g_{12}$, $g_{13}$ und $g_{23}$ sind identisch.

Alle drei Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Die Schnittgerade hat die Gleichung: