Aufgaben zur Lagebeziehung dreier Ebenen

Untersuchung auf Parallelität oder Identität

Betrachte zunächst die Normalenvektoren der drei Ebenen:

${\overrightarrow{n}}_1=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 2\end{array}\right)$, ${\overrightarrow{n}}_2=\left(\begin{array}{c}-\mathrm{1,5}\\ 2\\ -1\end{array}\right)$und ${\overrightarrow{n}}_3=\left(\begin{array}{c}\mathrm{4,5}\\ -6\\ 3\end{array}\right)$

Untersuche die Normalenvektoren auf Parallelität. Es gilt:

$(\text{}-2)\cdot {\overrightarrow{n}}_2={\overrightarrow{n}}_1$, $\left(\frac{2}{3}\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_3={\overrightarrow{n}}_1$ und $(\text{}-3)\cdot {\overrightarrow{n}}_2={\overrightarrow{n}}_3$

Die Normalenvektoren sind Vielfache voneinander.  Dies hat zur Folge, dass die Ebenen identisch oder parallel zueinander sind.

Betrachte nun die Ebenengleichungen $E_1$ und $E_2$. Hier gilt:

Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor $(-2)$. Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind $6$ und $(-2)$, d.h. hier gilt der Faktor $(-3)$. Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist $E_1\text{}\ne a\cdot E_2$​. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.

Betrachte jetzt die Ebenengleichungen $E_1$ und $E_3$. Hier gilt:

Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor $(\frac{2}{3})$. Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind $6$ und $12$, d.h. hier gilt der Faktor $\left(\frac{1}{2}\right)$. Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist $E_1\text{}\ne b\cdot E_3$​. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.

Für die Ebenengleichungen $E_2$ und $E_3$ gilt:

Die Normalenvektoren unterscheiden sich um den Faktor $(-3)$. Die rechten Seiten der beiden Ebenengleichungen sind $(-2)$ und $12$, d.h. hier gilt der Faktor $(-6)$. Somit sind die beiden Faktoren ungleich. Damit ist $E_3\ne c\cdot E_2$​. Die beiden Ebenen sind echt parallel zueinander.

Ergebnis: Es handelt sich um drei zueinander echt parallele Ebenen.

Weitere Untersuchungen sind nicht erforderlich.