Aufgaben zu Volumen und Oberflächenberechnung

Das Bild zeigt eine gerade Pyramide mit einem Quadrat als Grundfläche. Der Punkt $C$ halbiert die Höhe $h$ .

Die Winkel im Dreieck $A B C$ hängen nicht von $a$ ab.

Berechne jeweils in Abhängigkeit von $a$

Das Volumen der Pyramide

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Die Diagonalenlänge der Grundfläche ist $d = \sqrt{2} a$ .
Der Mittelpunkt der Diagonalen ist $M$ .
Dann gilt im Dreieck $A M S$ mit dem Satz des Pythagoras:
$h^{2} = (3 a)^{2} - {(\frac{d}{2})}^{2}$
$h^{2} = 9 a^{2} - {(\frac{\sqrt{2} a}{2})}^{2}$
$\Rightarrow h = \sqrt{9 a^{2} - \frac{1}{2} a^{2}} = \frac{\sqrt{34}}{2} a$
Damit kann nun das Volumen der Pyramide berechnet werden:
$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{\sqrt{34}}{2} a = \frac{\sqrt{34}}{6} a^{3} \approx 0,972 a^{3}$
Den Oberflächeninhalt der Pyramide

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Für den Oberflächeninhalt muss die Fläche der Pyramidendreiecke berechnet werden.
Im gezeichneten Dreieck ist die Dreiecksgrundseite die halbe Dreiecksseite $a$ .
Im Dreieck gilt dann mit dem Satz des Pythagoras:
$h_{Δ} = \sqrt{(3 a)^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \sqrt{9 a^{2} - \frac{a^{2}}{4}}$
$h_{Δ} = \frac{\sqrt{35}}{2} a$
Für den Oberflächeninhalt folgt dann:
$O = G + 4 \cdot A_{Δ} = G + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{Δ}$
$O = a^{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{35}}{2} \cdot a$
$O = a^{2} + \sqrt{35} \cdot a^{2} = (1 + \sqrt{35}) \cdot a^{2}$
$O \approx 6,916 a^{2}$
Die drei Seitenlängen im Dreieck $A B C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Die Länge der Dreiecksseite $[A B]$ ist die Diagonalenlänge $d = \sqrt{2} a$ .
Die Höhe $h$ in diesem Dreieck ist die halbe Pyramidenhöhe.
$\Rightarrow h = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{34}}{2} a = \frac{\sqrt{34}}{4} a$
Die Längen der beiden Seiten $[A C]$ und $[B C]$ sind gleich groß. Die Länge wird wieder mit dem Satz des Pythagoras berechnet:
$A C = B C = \sqrt{h^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{\sqrt{34}}{4} a)}^{2} + {(\frac{\sqrt{2} a}{2})}^{2}}$
$A C = B C = \sqrt{\frac{34}{16} a^{2} + \frac{1}{2} a^{2}} = \frac{\sqrt{42}}{4} a$
Ergebnis: $A C = B C = \frac{\sqrt{42}}{4} a$ und $A B = \sqrt{2} a$ .
Die Winkel im Dreieck $A B C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktionen
Im linken Dreieck gilt:
$\tan α = \frac{h}{\frac{d}{2}} = \frac{2 \cdot h}{d}$
$\tan α = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{34}}{4} a}{\sqrt{2} a}$
$\tan α = \frac{\sqrt{34}}{2 \cdot \sqrt{2}}$
$\Rightarrow α = \tan^{- 1} (\frac{\sqrt{34}}{2 \cdot \sqrt{2}}) \approx {64,12}^{\circ}$
Der Winkel $A B C$ ist gleich dem Winkel $α$ .
Der Winkel $A C B = 180^{\circ} - 2 \cdot α = 180^{\circ} - {128,24}^{\circ} = {51,56}^{\circ}$ .
Den Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
$A = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h$
$A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} a \cdot \frac{\sqrt{34}}{4} a = \frac{\sqrt{17}}{4} a^{2}$

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CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch → Was bedeutet das? serlo.org