Aufgaben zu Extremwerten

Aus dem Graphen lassen sich zwei Punkte $P_1(0|0),P_2(6|6)$ der Geraden und drei Punkte $P_3(0|0),P_4(4|8),P_5(8|0)$ der Parabel ablesen.

Stelle die allgemeine Geradengleichung auf und setze die zwei bekannten Punkte ein.

$y=mx+t$

$0=m\cdot 0+t$

Der erste Punkt führt zu $t=0$. Setze nun den zweiten Punkt ein.

Der zweite Punkt führt zu $m=1$. Folglich lautet die Funktionsgleichung für die Gerade:

Bestimme nun die Funktionsgleichung für die Parabel. Hierzu verwende die allgemeine Form.

$y=a{x}^2+bx+c$

Setze in diese Gleichung die bekannten Punkte ein.

$0=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$

Der erste Punkt führt zu $c=0$ $\Rightarrow y=a{x}^2+bx$.

Setze nun den zweiten Punkt $(4|8)$ ein.

Der zweite Punkt führt zu einer Gleichung in Abhängigkeit von $a$ und $b$. Setze nun den dritten Punkt $(8|0)$ ein.

Errechne daraus $b$.

$b=2-4\cdot (-0.5)=4$

Insgesamt lautet damit die Funktionsgleichung der Parabel:

Schnittpunkte berechnen

Zur Berechnung der Schnittpunkte setzt man die beiden Funktionsgleichungen gleich.

Die rechte Seite ist genau dann $0$, wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist.

$\Rightarrow x_1=0$

$-\mathrm{0,5}x+3=0\iff x_2=6$

Die Schnittpunkte sind also an den Stellen $x_1=0$ und $x_2=6$. Die Schnittpunkte sind also

$S_1(0|0)$

$S_2(6|6)$

Koordinaten eines Punktes $P$ auf der Parabel

Ein Punkt auf der Parabel hat nach der Funktionsgleichung die Koordinaten $P(x_p|-\mathrm{0,5}{x}_p^2+4x_p)$.

Längste Strecke

Die Länge $S(x)$ der Strecke an der Stelle $x$ ergibt sich als Differenz der beiden Funktionswerte.

$S(x)=-\mathrm{0,5}{x}^2+4x-x$

Nullstellen der 1. Ableitung sind mögliche Maximalstellen.

$S^{\prime }(x)=-x+3=0$

$x=3$ ist also die einzige Extremstelle. Mit der 2. Ableitung lässt sich überprüfen, ob hier ein Maximum vorliegt.

$S^{\prime \prime }(x)=-1$

$S^{\prime \prime }(3)=-1<0$

Damit liegt an der Stelle $x=3$ ein Maximum vor. Die längste Strecke hat damit die Länge

$S(3)=-\mathrm{0,5}\cdot 3^2+3\cdot 3=\mathrm{4,5}$