Aufgaben zur Kurvendiskussion bei gebrochen rationalen Funktionen

Definitionsbereich bestimmen

Wir bestimmen zunächst den Definitionsbereich: Der Funktionsterm $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{(x-\mathrm{0,5}{)}^3}}$ ist ein Bruch. Bei einem Bruch darf der Nenner

nicht null werden.

Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn wenigstens einer der Faktoren gleich null wird. Setze daher den Nenner der Funktion gleich 0, um die Definitionslücke zu bestimmen.

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse.

$\Rightarrow NST=\left(0|0\right)$

Ableitungen bilden

1. Ableitung

$f(x)=\frac{x^2}{(x-\mathrm{0,5}{)}^3}$

Berechne die Ableitungen von Zähler ($u$) und Nenner ($v$). Für $v$ wird die Kettenregel verwendet.

$u^{\prime }=2x,v^{\prime }=3\cdot {(x-\mathrm{0,5})}^2$

Quotientenregel anwenden:

2. Ableitung

$f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{x^2+x}{{(x-\mathrm{0,5})}^4}$

Berechne die Ableitungen von Zähler ($u$) und Nenner ($v$). Für $v$ wird die Kettenregel verwendet.

$u^{\prime }=2x+1,v^{\prime }=4\cdot {(x-\mathrm{0,5})}^3$

Quotientenregel anwenden:

Extrema bestimmen

Für die Extrema werden mithilfe der 1. Ableitung die x-Werte bestimmt:

$f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{x^2+x}{{(x-\mathrm{0,5})}^4}$

Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.

Art der Extrema bestimmen

$\Rightarrow$ Da $f^{\prime \prime }(-1)>0:$ Tiefpunkt

$\Rightarrow$ Da $f^{\prime \prime }\left(0\right)<0;$ Hochpunkt

y-Wert bestimmen

Die y-Koordinate des zweiten Extremums ist bereits bekannt, da dieses zusätzlich auch eine Nullstelle ist.

$\Rightarrow TP(-1|-\frac{8}{27}),HP\left(0|0\right)$