Komplexere Anwendungsaufgaben mit Extremwertproblemen

Die Zielfunktion, deren Maximum zu berechnen ist, ergibt sich aus der Differenz der Rechtecksfläche mit den Seitenlängen $xLE$ und $yLE$ und der Fläche des Halbkreises zum Radius $x/2LE$, multipliziert mit dem Faktor $aLE$.

Zielfunktion:

$$V(x;y)=[x\cdot y-\underset{\text{Halbkreisfläche}}{\underbrace{{\displaystyle \frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^2\pi }}}]\cdot a$$

Die zu knickende und umzubiegende Seitenlänge $b$ ergibt für die Zielfunktion $V(x;y)$ eine Nebenbedingung.

Nebenbedingung:

$x+y+k+y=b$

Berechne $k$ als Kreisbogenlänge des Halbkreises zum Radius $x/2$.

$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle k}& =& {\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\cdot {\displaystyle (\frac{x}{2})\cdot \pi }}\\ k& =& {\displaystyle \frac{1}{2}x\pi }\end{array}$$

Setze $k$ in die Nebenbedingung ein und löse diese nach $y$ (oder auch nach $x$) auf.

$\begin{array}{rcll}x+2y+\frac{1}{2}x\pi & =& b& |-x-\frac{1}{2}x\pi \\ 2y& =& b-x-\frac{1}{2}x\pi & |:2\\ y& =& \frac{1}{2}b-x(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\pi )& |\text{Setze y in V(x;y) ein}\end{array}$

$$\begin{array}{rcl}V(x)& =& {\displaystyle [x\cdot (\frac{1}{2}b-x(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\pi ))-x^2\cdot \frac{\pi }{8}]\cdot a}\\ & =& [{\displaystyle \frac{1}{2}bx-x^2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\pi )-x^2\cdot \frac{\pi }{8}]\cdot a}\\ & =& {\displaystyle [\frac{1}{2}bx-x^2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\pi +\frac{\pi }{8})]\cdot a}\\ & =& {\displaystyle [\frac{1}{2}bx-x^2(\frac{1}{2}+\frac{3\pi }{8})]\cdot a}\\ V(x)& =& {\displaystyle (\frac{1}{2}bx-\frac{4+3\pi }{8}{x}^2)\cdot a}\end{array}$$

Berechne $V^{\prime }(x)$ und $V^{\prime \prime }(x)$.

Setze $V^{\prime }(x)$ gleich Null und löse nach $x$ auf.

Da $V^{\prime \prime }(x)$ für jedes $x$ negativ ist, ergibt sich für das Volumen ein Maximum.

$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{2}b-\frac{4+3\pi }{4}\cdot x_{max}}& =& 0\\ {\displaystyle \frac{4+3\pi }{4}\cdot x_{max}}& =& \frac{1}{2}b& |:\frac{4+3\pi }{4}\\ x_{max}& =& {\displaystyle \frac{4b}{2(4+3\pi )}}\\ x_{max}& =& {\displaystyle \frac{2b}{4+3\pi }}\end{array}$$

Für die maximale Halbkreislinie $k$ ergibt dies:

$$k_{max}={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{2b}{4+3\pi }\cdot \pi }$$

$$k_{max}={\displaystyle \frac{b\pi }{4+3\pi }}$$

Setze $x_{max}$ in $y=\frac{1}{2}b-x(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\pi )$ ein, um die maximale y-Kantenlinie des Körpers zu erhalten:

$$\begin{array}{lcll}{y}_{max}& =& {\displaystyle \frac{b}{2}-\frac{2b}{(4+3\pi )}\cdot (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\pi )}& |\text{HN}\\ & =& {\displaystyle \frac{b}{2}-\frac{2b}{(4+3\pi )}\cdot \frac{2+\pi }{4}}& |\text{kürzen}\\ & =& {\displaystyle \frac{b}{2}-\frac{b}{2}\cdot \frac{2+\pi }{4+3\pi }}& |\text{ausklammern}\\ & =& {\displaystyle \frac{b}{2}(1-\frac{2+\pi }{4+3\pi })}& |\text{HN}\\ & =& {\displaystyle \frac{b}{2}\cdot \frac{4+3\pi -2-\pi }{4+3\pi }}& |\text{zusammenfassen}\\ & =& {\displaystyle \frac{b}{2}\cdot \frac{2+2\pi }{4+3\pi }}& |\text{kürzen}\\ y_{max}& =& {\displaystyle b\cdot \frac{1+\pi }{4+3\pi }}& \end{array}$$

Setze $x_{max}$ und $y_{max}$ in

$$V(x;y)={\displaystyle (x\cdot y-x^2\cdot \frac{\pi }{8})\cdot a}$$

ein, um das größtmögliche Volumen des Körpers zu erhalten.

$$\begin{array}{lcl}{V}_{max}& =& {\displaystyle (\frac{2b}{4+3\pi }\cdot b\cdot \frac{1+\pi }{4+3\pi }-\frac{4b^2}{(4+3\pi {)}^2}\cdot \frac{\pi }{8})\cdot a}\\ & =& {\displaystyle (\frac{2b^2(1+\pi )}{(4+3\pi {)}^2}-\frac{4b^2\pi }{8(4+3\pi {)}^2})\cdot a}& |\text{kürzen}\\ & =& {\displaystyle (\frac{2b^2(1+\pi )}{(4+3\pi {)}^2}-\frac{b^2\pi }{2(4+3\pi {)}^2})\cdot a}& |\text{HN}\\ {\displaystyle }& =& {\displaystyle \frac{4b^2(1+\pi )-b^2\pi }{2(4+3\pi {)}^2}\cdot a}& \text{Distributivgesetz}\\ & =& {\displaystyle \frac{4b^2+4b^2\pi -b^2\pi }{2(4+3\pi {)}^2}\cdot a}& |\text{zusammenfassen}\\ & =& {\displaystyle \frac{4b^2+3b^2\pi }{2(4+3\pi {)}^2}\cdot a}& |\text{ausklammern}\\ & =& {\displaystyle \frac{b^2(4+3\pi )}{2(4+3\pi {)}^2}\cdot a}& |\text{kürzen}\\ V_{max}& ={\displaystyle \frac{a{b}^2}{2(4+3\pi )}}& \end{array}$$

Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe a):

Wird die Blechtafel mit den Seitenlängen $aLE$ und $bLE$ längs der Seite $b$ so gebogen, dass die Kantenlängen $x_{max}$, $y_{max}$, die Halbkreislinie $k_{max}$ und nochmals die Kante $y_{max}$ aufeinanderfolgen, so hat der entstehende Körper sein maximales Volumen mit

$$V_{max}={\displaystyle \frac{a{b}^2}{2(4+3\pi )}}$$.

Dies kannst du auch rechnerisch folgendermaßen bestätigen:

$\begin{array}{rcl}M& =& \underset{\text{x-Kante}}{\underbrace{x\cdot a}}+2\cdot [\underset{\text{y-Kante}}{\underbrace{\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}x(1+\frac{\pi }{2})}}]\cdot a+\underset{\text{Kreislinie}}{\underbrace{x\cdot \frac{\pi }{2}\cdot a}}\\ & =& x\cdot a+b\cdot a-x(1+\frac{\pi }{2})\cdot a+x\cdot \frac{\pi }{2}\cdot a\\ & =& x\cdot a+b\cdot a-x\cdot a-x\cdot \frac{\pi }{2}\cdot a+x\cdot \frac{\pi }{2}\cdot a\\ M& =& b\cdot a\end{array}$

Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe b):

Alle Körper, die sich auf die beschriebene Weise aus der Blechtafel mit den Seitenlängen $aLE$ und $bLE$ herstellen lassen, haben die gleiche Mantelfläche $a\cdot bL{E}^2$.

Für die Oberfläche $O$ eines jeden der betrachteten Körper gilt:

$O=\text{Mantelfläche}+2\cdot \text{Grundfläche}$

Bereits in Teilaufgabe a) wurde die Grundfläche bestimmt als Differenzfläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen $xLE$ und $yLE$ und der Halbkreisfläche zum Radius $\frac{x}{2}LE$.

Für die zu maximierende Oberfläche ergibt sich somit die folgende

Zielfunktion:

Ebenso wie für die Volumenoptimierung in Teilaufgabe a) ergibt sich als

Nebenbedingung:

$x+y+k+y=b$ mit $k=\frac{1}{2}x\pi$.

$k$ eingesetzt und nach $y$ aufgelöst ergibt:

Setze $y$ in $O(x;y)$ ein:

$\begin{array}{lcl}O(x)& =& b\cdot a+2[x\cdot (\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}x(1+\frac{\pi }{2}))-x^2\cdot \frac{\pi }{8}]\\ & =& b\cdot a+2[\frac{1}{2}bx-\frac{1}{2}{x}^2(1+\frac{\pi }{2})-x^2\cdot \frac{\pi }{8}]\\ & =& b\cdot a+bx-x^2(1+\frac{\pi }{2})-x^2\cdot \frac{\pi }{4}\\ & =& b\cdot a+bx-x^2(1+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4})\\ O(x)& =& b\cdot a+bx-x^2(1+\frac{3}{4}\pi )\end{array}$

Der Graph von $O(x)$ ist wegen des negativen Faktors beim $x^2$-Glied eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr Scheitelpunkt liefert also eine maximale Oberfläche des Körpers.

Mit der 1. Ableitung von $O(x)$ bestimmst du den x-Wert der maximalen Oberfläche:

$O^{\prime }(x)=b-2x(1+\frac{3}{4}\pi )$

Setze $O^{\prime }(x)$ gleich Null um $x_{max}$ zu bestimmen.

$$\begin{array}{rcll}b-2\cdot x_{max}(1+\frac{3}{4}\pi )& =& 0& |HN\\ b-2\cdot x_{max}\cdot {\displaystyle \frac{4+3\pi }{4}}& =& 0& |\text{kürzen}\\ b-x_{max}\cdot {\displaystyle \frac{4+3\pi }{2}}& =& 0& |\cdot 2\\ x_{max}\cdot (4+3\pi )& =& 2b& |:(4+3\pi )\\ x_{max}& =& {\displaystyle \frac{2b}{4+3\pi }}& \\ \text{Setze}{x}_{max}\text{ in O(x) ein.}& & & \end{array}$$

$$\begin{array}{l}{O}_{max}=b\cdot a+b\cdot {\displaystyle \frac{2b}{4+3\pi }-\frac{4b^2}{(4+3\pi {)}^2}\cdot \frac{4+3\pi }{4}}\\ =b\cdot a+{\displaystyle \frac{2b^2}{4+3\pi }-\frac{b^2}{4+3\pi }}\\ O_{max}=b\cdot a+{\displaystyle \frac{b^2}{4+3\pi }}\end{array}$$

Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe c):

Die größtmögliche Oberfläche für einen Körper, der in der beschriebenen Weise aus einer Blechtafel mit den Seitenlängen $aLE$ und $bLE$ gebildet werden kann, beträgt

Es ist derselbe Körper, der auch das größtmögliche Volumen aufweist.

Der Körper mit dem größten Volumen und gleichzeitig der größten Oberfläche besitzt bei den Blechtafelmaßen $a=5m$ und $b=10m$ folgende Kantenmaße:

$$x-\text{Kante}={\displaystyle \frac{2b}{4+3\pi }=\frac{20}{4+3\pi }\approx \mathrm{1,49}m}$$

$$y-\text{Kante}={\displaystyle b\cdot \frac{1+\pi }{4+\pi }\approx \mathrm{3,09}m}$$

$$\text{Halbkreiskante}={\displaystyle \frac{b\cdot \pi }{4+3\pi }\approx \mathrm{2,34}m}$$

Für das maximale Volumen und die maximale Oberfläche ergibt sich:

$V_{max}(5;10)\approx \mathrm{18,622}{m}^3$

$O_{max}(5;10)\approx \mathrm{57,45}{m}^2$

Im beigefügten Applet kannst du den Gleitpunkt $G$ der Blechtafel verschieben und damit das Verhalten des zu errichtenden Körpers überprüfen und die Ergebnisse für die Blechtafelmaße $a=5LE$ und $b=10LE$ überprüfen.

Anhand des beigefügten Applets kannst du durch Verschieben des rechten unteren Eckpunkts $P$ das Verhalten des Körpers und die Ergebnisse für die Blechtafelmaße $a=5LE$ und $b=10LE$ überprüfen.