Anwendungsaufgaben der Differential- und Integralrechnung

Gegeben sind die Punkte $A(1|4)$ und $B(3|5)$.

Linearer Ansatz für die Funktion $f(x)$:  $f(x)=mx+b$

Ein versatzfreier Übergang an den Punkten $A$ und $B$ ist gegeben, wenn gilt:

$f(1)=g(1)=4$    $\Rightarrow$       $4=m\cdot 1+b$ $(1)$

$f(3)=h(3)=5$  $\Rightarrow$        $5=m\cdot 3+b$ $(2)$

$(2)-(1)\Rightarrow$ $1=2\cdot m$ $\Rightarrow$  $m=\mathrm{0,5.}$

Setzt man $m=\mathrm{0,5}$ in eine der beiden Gleichungen ein, so erhält man $b=\mathrm{3,5.}$

Antwort:  Die gesuchte lineare Funktion lautet: $f(x)=\mathrm{0,5}x+\mathrm{3,5.}$

Graphische Darstellung der drei Funktionen $g(x),f(x),h(x)$.

Antwort:  An den beiden Übergangsstellen $A$ und $B$ gibt es jeweils einen Knick im Straßenverlauf.

Gegeben sind die Funktionen $g(x)=x+3$ und $h(x)=5$.

Quadratischer Ansatz für die Funktion $k(x)$:  $k(x)=a{x}^2+bx+c$

Die erste Ableitung von $k(x)$ lautet: $k^{\prime }(x)=2ax+b$.

Die erste Ableitung von $g(x)$ lautet: $g^{\prime }(x)=1$.

Die erste Ableitung von $h(x)$ lautet: $h^{\prime }(x)=0$.

1. versatzfrei:  $k(1)=g(1)=4$      $\Rightarrow$          $4=a+b+c$   $(1)$                        $k(3)=h(3)=5$  $\Rightarrow$         $5=9a+3b+c$ $(2)$

2. knickfrei:     $k^{\prime }(1)=g^{\prime }(1)=1$  $\Rightarrow$         $1=2a+b$             $(3)$     $k^{\prime }(3)=h^{\prime }(3)=0$    $\Rightarrow$          $0=6a+b$ $(4)$ Somit erhält man vier Gleichungen für 3 Unbekannte.

$(4)-(3)\Rightarrow$$-1=4a$ $\Rightarrow$ $a=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

Aus (4) $\Rightarrow$ $b=-6a$; mit $a=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ erhält man $b={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Aus $(1)$ folgt : $c=4-a-b$ $\Rightarrow c=4-(-{\displaystyle \frac{1}{4}})-{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{11}{4}}$

Probe: $a=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ und $b={\displaystyle \frac{3}{2}}$ in die bisher nicht verwendete Gleichung $(2)$

eingesetzt: $5=9\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{4}})+3\cdot ({\displaystyle \frac{3}{2}})+{\displaystyle \frac{11}{4}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5$; also eine wahre Aussage.

Das Gleichungssystem ist lösbar.

Antwort: Die gesuchte Funktion lautet : $k(x)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{11}{4}}$

In der Scheitelpunktform lautet die gesuchte Funktion: $k(x)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}(x-3{)}^2+5$

In der Aufgabenstellung nicht gefordert ist eine Zeichnung mit den Funktionen $g(x),h(x)$ und $k(x)$. So würde das Ergebnis aussehen.

Die Anschlussstellen haben keinen Knick mehr.

Gegeben sind die Funktionen $g(x)=x+3$ und $h(x)=5$.

Ansatz für eine Funktion 4. Grades $m(x)$:  $m(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$

Die erste Ableitung von $m(x)$ lautet: $m^{\prime }(x)=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d$.

Die zweite Ableitung von $m(x)$ lautet: $m^{\prime \prime }(x)=12a{x}^2+6bx+2c$

Die erste Ableitung von $g(x)$ lautet: $g^{\prime }(x)=1$

Die zweite Ableitung von $g(x)$ lautet: $g^{\prime \prime }(x)=0$

Die erste Ableitung von $h(x)$ lautet: $h^{\prime }(x)=0$

Die zweite Ableitung von $h(x)$ lautet: $h^{\prime \prime }(x)=0$

1. versatzfrei:  $m(1)=g(1)=4$  $\Rightarrow$     $4=a+b+c+d+e$   $(1)$                       $m(3)=h(3)=5$ $\Rightarrow$    $5=81a+27b+9c+3d+e$ $(2)$

2. knickfrei:     $m^{\prime }(1)=g^{\prime }(1)=1$ $\Rightarrow$     $1=4a+3b+2c+d$      $(3)$       $m^{\prime }(3)=h^{\prime }(3)=0$ $\Rightarrow$     $0=108a+27b+6c+d$ $(4)$

3. ruckfrei: $m^{\prime \prime }(1)=g^{\prime \prime }(1)=0$$$ $\Rightarrow$ $0=12a+6b+2c$ $(5)$  $m^{\prime \prime }(3)=h^{\prime \prime }(3)=0$ $\Rightarrow$ $0=108a+18b+2c$ $(6)$

Somit erhält man sechs Gleichungen für 5 Unbekannte.

$(4)-(3)\Rightarrow -1=104a+24b+4c$

$(5)$ $0=12a+6b+2c$

$(6)$ $0=108a+18b+2c$

Es ergibt sich ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten, das mit dem TR oder dem Gauß-Algorithmus gelöst werden kann.

Man erhält $a={\displaystyle \frac{1}{16}},b=-{\displaystyle \frac{1}{2}},c={\displaystyle \frac{9}{8}}$

Aus Gleichung $(3)$ folgt: $d=1-4a-3b-2c=1-{\displaystyle \frac{4}{16}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{18}{8}}=0$

Aus Gleichung $(1)$ folgt: $e=4-a-b-c-d=4-{\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{9}{8}}-0={\displaystyle \frac{53}{16}}$

Zur Probe muss noch die nicht verwendete Gleichung $(2)$ überprüft werden.

$5=81\cdot ({\displaystyle \frac{1}{16}})+27\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})+9\cdot ({\displaystyle \frac{9}{8}})+3\cdot 0+{\displaystyle \frac{53}{16}}={\displaystyle \frac{20}{4}}=5$

Man erhält eine wahre Aussage. Das Gleichungssystem ist also lösbar.

Antwort: Die gesuchte Funktion lautet: $m(x)={\displaystyle \frac{1}{16}}{x}^4-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3+{\displaystyle \frac{9}{8}}{x}^2+{\displaystyle \frac{53}{16}}$

In der Aufgabenstellung nicht gefordert ist eine Zeichnung mit den Funktionen

$g(x),h(x)$ und $m(x).$ So würde das Ergebnis aussehen.

Die Verbindung der Punkte $A$ und $B$ erfolgt nicht nur knickfrei sondern auch krümmungsruckfrei.