Teil 1 Stochastik

Ereignis in aufzählender Mengenschreibweise

Elemente der Ergebnismenge $\mathrm{\Omega }$ sind Tupel der Form $(w_1,w_2)$, wobei $w_1,w_2\in \{1;2;3;4;5;6\}$ die jeweilige Augenzahl beim ersten Wurf bzw zweiten Wurf ist.

Die aufzählende Mengenschreibweise von E: "Augensumme höchstens drei" lautet also:

$E=\{(1;1),(1;2),(2;1)\}$

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

Da es sich um einen Laplace-Würfel handelt, sind alle Ergebnisse, also alle Augenzahlen, gleich wahrscheinlich. Somit ist also auch jedes Tupel bei zweimaligem Werfen gleich wahrscheinlich und das zweimalige Werfen ist ebenfalls ein Laplace-Experiment, bei dem jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist.

Bei einem Laplace-Experiment kann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden durch:

$P\left(E\right)={\displaystyle \frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}}}={\displaystyle \frac{|E|}{|\mathrm{\Omega }|}}$

Dabei beschreiben die senkrechten Striche die Mächtigkeit einer Menge, also die Anzahl ihrer Elemente.

Es ist $\left|E\right|=3$, denn es sind drei Tupel in der Menge enthalten.

Für $\left|\mathrm{\Omega }\right|$ muss man sich überlegen, wie viele mögliche Kombinationen es beim zweimaligen Würfeln gibt. Beim ersten Wurf gibt es 6 mögliche Ausgänge. Für jedes dieser Ergebnisse gibt es beim 2. Wurf 6 mögliche Elemente. Insgesamt also:

$\left|\mathrm{\Omega }\right|=6\cdot 6=36$ und somit $P\left(E\right)=\frac{3}{36}\approx \mathrm{8,33}\%$