Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist $n=8$ und$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}={\displaystyle \frac{4}{3}}$​.

Man hat eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kann mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel gelöst werden.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Die Werte für $p$ und $q$ werden abgelesen: $p=-1$ und $q={\displaystyle \frac{2}{9}}$

​Man hat die zwei Lösungen $p_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$ und $p_2={\displaystyle \frac{2}{3}}$ erhalten.

Welche der beiden Wahrscheinlichkeiten gehört zur Abbildung $2$?

In der Abbildung $2$ ist zu erkennen, dass die Wahrscheinlichkeiten $P(X=2)$ und $P(X=3)$ gleich groß sind.

Man berechnet die beiden Wahrscheinlichkeiten einmal für $p_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$ und dann eventuell noch für $p_2={\displaystyle \frac{2}{3}}$​.

$P(X=2)=B(8;\frac{1}{3};2)=\mathrm{0,2731}$und $P(X=3)=B(8;\frac{1}{3};3)=\mathrm{0,2731}$.

Die beiden Wahrscheinlichkeiten sind gleich groß, daher ist der Wert des Parameters $p_x={\displaystyle \frac{1}{3}}$​.

Da$p_x={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{}$ ist, folgt $p_y=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{}$

Die Verteilung von $Y$ ist die Verteilung von $X$ gespiegelt an der Geraden $x=4$. Dann gilt $P(Y=8)=P(X=0)$, ebenso $P(Y=7)=P(X=1)$ und so weiter.

$P(Y\ge 6)=P(Y=6)+P(Y=7)+P(Y=8)$

Dieser Summe aus drei Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung $Y$ entspricht dann die Summe aus den drei folgenden Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung $X$$P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$. Diese Summe ist gleich $P(X\le 2)$.

$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

Somit ist dann$P(Y\ge 6)\equiv P(X\le 2)$.

Die ersten drei Balken in der Abbildung müssen gekennzeichnet werden.

Der Wahrscheinlichkeit $P(Y\ge 6)$ entspricht die grün gefärbte Fläche.