Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Um die Wirksamkeit eines Pflanzenschutzmittels gegen Pilzbefall nachzuweisen, wurden zahlreiche Versuche durchgeführt, bei denen landwirtschaftliche Nutzpflanzen behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht wurden. Im Mittel sind dabei $5 %$ der Pflanzen von Pilzen befallen worden.

Bei einem weiteren Versuch mit $n$ Pflanzen beschreibt die Zufallsgröße $X_{n}$ die Anzahl der

Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden,

dass $X_{n} $ binomialverteilt ist, mit den Parametern $n$ und $p = 0,05$ .

Es werden $15$ Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht. Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: (6 P)
$E_{1}$ : "Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen."
$E_{2} $ : "Höchstens $2$ Pflanzen werden von Pilzen befallen."
$E_{3}$ : " $12$ oder $13$ Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall."

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Gegeben sind $n = 15$ und $p = 0,05$ :
Die Werte der Binomialverteilung können dem Tafelwerk entnommen werden.
"Keine der Pflanzen wird von Pilzen befallen", d.h. es ist $P (X = 0)$ gesucht.
$E_{1} : P (X = 0) = B (15; 0,05; 0) = 0,46329$
"Höchstens $2$ Pflanzen werden von Pilzen befallen", d.h. es ist $P (X \leq 2)$ gesucht.
Hier können die Werte der kumulierten Binomialverteilung benutzt werden.
Alternativ können auch die drei Einzelwerte $P (X = 0)$ , $P (X = 1)$ und $P (X = 2)$ addiert werden.
$E_{2} : P (X \leq 2) = F (15; 0,05; 2) = 0,96380$
" $12$ oder $13$ Pflanzen bleiben ohne Pilzbefall", d.h. $2$ oder $3$ Pflanzen werden vom Pilz befallen. Demnach ist $P (2 \leq X \leq 3)$ gesucht.
$E_{3} : P (2 \leq X \leq 3) = P (X = 2) + P (X = 3) = 0,13475 + 0,03073 = 0,16548$
Alternative Lösung:
$E_{3} : P (X = 12) + P (X = 13)$ $=$ $B (15; 0,95; 12) + B (15; 0,95; 13)$
↓
$P (ohne Pilzbefall) = 1 - 0,05 = 0,95.$
Lies die Werte im Tafelwerk ab.
$=$ $0,03073 + 0,13475$
$=$ $0,16548$

Bestimmen Sie den kleinsten Wert von $n$ , für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Pflanze von Pilzen befallen wird, mindestens $99 %$ beträgt. (4 P)

Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, dass bei einem Versuch mit $400$ Pflanzen der Wert der Zufallsgröße $X_{400} $ um höchstens eine Standardabweichung von Erwartungswert abweicht, die kleinst- und größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Standardabweichung
Der Erwartungswert bei einer Binomialverteilung ist $μ = n \cdot p$ .
Für die Standardabweichung $σ$ gilt: $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ .
Mit $n = 400$ und $p = 0,05$ folgt:
$μ = n \cdot p = 400 \cdot 0,05 = 20$ und $σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{400 \cdot 0,05 \cdot 0,95} \approx 4,4$
Das Intervall "Die Abweichung vom Erwartungswert beträgt höchstens eine Standardabweichung" ist dann $[μ - σ; μ + σ]$ .
Setzt man die berechneten Werte ein, dann folgt:
$[20 - 4,4; 20 + 4,4] = [15,6; 24,4]$
Da $n$ eine ganze Zahl ist, ergibt sich gerundet das Intervall $[16; 24]$ .
Damit folgt für die kleinst mögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden $h_{\min} = \frac{16}{400} = 0,04$ und für die größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden $h_{m a x} = \frac{24}{400} = 0,06$ .
Allgemein gilt für eine Zufallsgröße $X$ mit Erwartungswert $μ$ und Standardabweichung $σ$ folgende Ungleichung für $k > 0$ :
$P (μ - k \cdot σ < X < μ + k \cdot σ) \geq 1 - \frac{1}{k^{2}} $
Erläutern Sie die Aussage dieser Ungleichung für $k = 2$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
Für $k = 2$ erhält man folgende Aussage:
$P (μ - 2 \cdot σ < X < μ + 2 \cdot σ) \geq 1 - \frac{1}{2^{2}} = \frac{3}{4} $
Diese Aussage hat folgende Bedeutung:
Ist $X$ eine Zufallsgröße mit dem Erwartungswert $μ$ und der Standardabweichung $σ$ , dann fallen die Werte von $X$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75 %$ in das Intervall $[μ - 2 \cdot σ; μ + 2 \cdot σ]$ .
Oder anders formuliert: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsgröße $X$ um weniger als zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert $μ$ abweicht, ist mindestens $75 %$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$1 - P (keine Pfl. von Pilzen befallen)$	$\geq$	$0,99$
	↓	$P (Kein Pilzbefall) = (1 - p)^{n}$ bei $n$ Pflanzen.
$1 - (1 - p)^{n}$	$\geq$	$0,99$
	↓	Setze $p = 0,05$ ein.
$1 - (1 - 0,05)^{n}$	$\geq$	$0,99$
	↓	Fasse zusammen.
$1 - {0,95}^{n}$	$\geq$	$0,99$	$- 0,99 + {0,95}^{n}$
	↓	Löse nach $n$ auf.
$1 - 0,99$	$\geq$	${0,95}^{n}$
	↓	Vereinfache.
$0,01$	$\geq$	${0,95}^{n}$	$\ln$
	↓	Die Exponentialgleichung löst man mithilfe des Logarithmus.
$\ln (0,01)$	$\geq$	$n \cdot \ln (0,95)$	$: \ln (0,95)$
	↓	Der $\ln (0,95)$ ist negativ, deshalb muss das größer- und kleiner-gleich-Zeichen umgedreht werden.
$\frac{\ln (0,01)}{\ln (0,95)}$	$\leq$	$n$
$89,8$	$\leq$	$n$

$E_{3} : P (X = 12) + P (X = 13)$	$=$	$B (15; 0,95; 12) + B (15; 0,95; 13)$
	↓	$P (ohne Pilzbefall) = 1 - 0,05 = 0,95.$ Lies die Werte im Tafelwerk ab.
	$=$	$0,03073 + 0,13475$
	$=$	$0,16548$