Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Nullstelle

Gegeben ist $h(x)=\ln (2x-3)$. Gesucht ist die Nullstelle der $\ln$-Funktion.

Die Funktion $h$ hat an der Stelle $x=2$ eine Nullstelle.

Ableitungsfunktion

Die Funktion $h(x)$ ist eine verkettete Funktion. Beachte beim Ableiten die Kettenregel.

Für die Ableitung der $\ln$-Funktion gilt: ${(\ln (x))}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Die Ableitung der inneren Funktion $(2x-3{)}^{\prime }=2$

$\Rightarrow$ $h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2x-3}}\cdot 2={\displaystyle \frac{2}{2x-3}}$

Der Term der ersten Ableitungsfunktion von $h$ lautet: $h^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2}{2x-3}}$

Maximale Definitionsmenge $D_g$

Im Argument der $\ln$-Funktion dürfen nur positive Werte stehen. Für die Funktion $f(x)$ muss demnach gelten, dass $f(x)>0$ ist für alle $x\in ℝ$. Der Graph $G_f$ muss also oberhalb der $x$-Achse verlaufen. Das ist nach Abbildung $2$ der Fall für $x>2$.

$\Rightarrow D_f=]2;+\infty [$

Die maximale Definitionsmenge der Funktion $f$ ist $D_f=]2;+\infty [$.

Die Ableitungen der Funktionen $g$ und $f$ sind an einer Stelle gleich groß

Gesucht ist also die Stelle x, für die $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$ gilt.

Berechne zunächst die Ableitung der Funktion $g(x)=\ln (f(x))$. Beachte beim Ableiten die Kettenregel. Für die Ableitung der $\ln$-Funktion gilt: ${(\ln (x))}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Die Ableitung der inneren Funktion ist $f^{\prime }(x)$.

Damit ergibt sich die Ableitung $g^{\prime }(x)$ zu:

$g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{f(x)}}\cdot f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}$

Nun soll $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$ sein:

An der Stelle $x=4$ gilt, dass $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)$ ist.