Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Betrachtet werden die in $ℝ$ definierten Funktionen $f$ und $F$ , wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Abbildung $1$ zeigt den Graphen $G_{F}$ von $F$ .

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_{1}^{7} f (x) d x$ . (2P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integral
Allgemein gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: $\int_{a}^{b} f (x) d x = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)$ .
Nach Aufgabenstellung muss folgendes Integral berechnet werden:
$\int_{1}^{7} f (x) d x = {[F (x)]}_{1}^{7} = F (7) - F (1)$
Die Werte $F (7)$ und $F (1)$ können aus der Abbildung $1$ abgelesen werden:
$F (7) = 5$ und $F (1) = 1$
Eingesetzt folgt:
$\int_{1}^{7} f (x) d x = {[F (x)]}_{1}^{7} = F (7) - F (1) = 5 - 1 = 4$
Das Integral $\int_{1}^{7} f (x) d x$ hat den Wert $4$ .
Bestimmen Sie den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$ ; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung $1$ . (3P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
In der Abbildung $1$ ist der Graph der Stammfunktion $F (x)$ gezeichnet.
Allgemein gilt: $F^{'} (x) = f (x)$
Wenn der Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$ bestimmt werden soll, muss der Wert von $F^{'} (x)$ an der Stelle $1$ bestimmt werden, denn es gilt $F^{'} (1) = f (1)$ .
Gesucht ist also die Steigung der Tangente an den Graphen von $F$ im Punkt $(1 | 1)$ .
(zur Stelle $x = 1$ des Graphen gehört $y = 1$ )
Im Punkt $(1 | 1)$ ist die Tangente an den Graphen von $F$ gezeichnet:
( $grüne$ Gerade)
Zur Bestimmung der Geradensteigung wurde ein Steigungsdreieck eingezeichnet. Die Steigung $m$ der Tangente kann nun berechnet werden:
$m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{4}{1} = 4$
Der Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$ hat der Wert 4 $\Rightarrow f (1) = 4$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org