Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Bei einer gebrochen-rationalen Funktion darf der Nenner nicht null sein.

Für die Berechnung der Definitionslücken setze den Nenner $N(x)$ gleich null.

$N(x)=x^2-9$

Die beiden Nullstellen des Nenners müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden$\Rightarrow 𝔻=ℝ\backslash \{-3;3\}$

Für die Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von $g$ berechnet man den Grenzwert $${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }g(x)}$$, indem die höchste Potenz von $x$ (das ist hier $x^2$) ausgeklammert wird.

$${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2-9}}={\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\cancel{x^2}\cdot 2}{\cancel{x^2}(1-\underset{\to 0}{\underbrace{{\displaystyle \frac{9}{x^2}}}})}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2}}$$

Der Graph von $g$ hat die waagrechte Asymptote $y=2$.

Besitzt der Graph von $g$ in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente, so heißt das, die erste Ableitung der Funktion an dieser Stelle muss null sein:

$${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)=0}$$

Berechne zunächst $${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)}$$ mithilfe der Quotientenregel:

$g(x)={\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}={\displaystyle \frac{2x^2}{x^2-9}}$ mit $u(x)=2x^2$ und $v(x)=x^2-9$

Berechne die Ableitungen $u(x{)}^{\prime }$ und $v(x{)}^{\prime }$:

$u(x{)}^{\prime }=4x$ und $v(x{)}^{\prime }=2x$ und setze alle Terme in die Formel für die Quotientenregel ein.

Die erste Ableitung der Funktion $g(x)$ lautet: $g^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-36x}{{(x^2-9)}^2}}$

Setze nun $${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)=0}$$:

${\displaystyle \frac{-36x}{{(x^2-9)}^2}}=0$

Ein Bruch hat dann den Wert null, wenn der Zähler gleich null ist:

$\Rightarrow -36x=0\Rightarrow x=0$

Der Graph von $g$ hat in genau eine waagrechte Tangente an der Stelle $x=0$.