Aufgabengruppe II

Lösen Sie die folgenden Aufgaben.

Die nach oben geöffnete Normalparabel $p_{1}$ hat den Scheitelpunkt
$S_{1} (- 1 | - 6)$ . Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von $p_{1}$ in der Normalform.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Der Scheitel der Parabel $p_{1}$ ist laut Angabe: $S_{1} (- 1 | - 6)$
Die Scheitelform lautet:
$f (x) = a (x - d)^{2} + e$
Setze die entsprechenden Werte des Scheitels $S_{1}$ ein.
$p_{1} : y = (x + 1)^{2} - 6$
die Normalform ist dann:
$p_{1} : y = x^{2} + 2 x - 5$
Die Normalparabel $p_{2}$ hat die Funktionsgleichung $p_{2}$ : $y = - x^{2} - 6 x - 5$ und schneidet die x-Achse in den Punkten $N_{1}$ und $N_{2}$ . Berechnen Sie die x-Koordinaten dieser Nullstellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$ -Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel.
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$- x^{2} - 6 x - 5 = 0$
$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{(- 6)^{2} - 4 \cdot [(- 1) \cdot (- 5)]}}{2 \cdot (- 1)}$
$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2} \Rightarrow x_{1} = - 1$
$x_{2} = - 5$
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunkts $S_{2}$ der Normalparabel $p_{2}$ und geben Sie diesen an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:
$p_{2} : y$ $=$ $- x^{2} - 6 x - 5$
↓
klammere (-) aus
$=$ $- [x^{2} + 6 x + 5]$
↓
quadratische Ergänzung
$=$ $- [x^{2} + 6 x + 3^{2} - 3^{2} + 5]$
$=$ $- [(x + 3)^{2} - 3^{2} + 5]$
↓
Vorzeichen beachten
$=$ $- (x + 3)^{2} + 3^{2} - 5$
↓
zusammenfassen
$p_{2} : y$ $=$ $- {(x + 3)}^{2} + 4$
Jetzt kannst Du den Scheitelpunkt der Parabel $p_{2}$ ablesen: $S_{2} (- 3 | 4)$
Zeichnen Sie die Parabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel zeichnen
Eine nach oben geöffnete Normalparabel $p_{3}$ verläuft durch die Punkte $D (- 1 | 2)$ und $E (6 | - 5)$ . Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von $p_{3}$ in der Normalform.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen für quadratische Funktionen
Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:
$f (x) = a x^{2} + b x + c$
Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a = 1$
Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.
$\begin{array}{llrcl} Aus D (- 1 | 2) : & I & 2 & = & 1 \cdot (- 1)^{2} + b \cdot (- 1) + c \\ Aus E (6 | - 5) : & I I & - 5 & = & 1 \cdot 6^{2} + b \cdot 6 + c \end{array}$
Berechnung der Parameter mit dem Gleichsetzungsverfahren;
$\begin{array}{llrcl} I & 2 & = & 1 - b + c \end{array} \Rightarrow c = b + 1$
$\begin{array}{llrcl} I I & - 5 & = & 36 + 6 b + c \end{array} \Rightarrow c = - 6 b - 41$
Setze $I = I I$
$b + 1$ $=$ $- 6 b - 41$ $+ 6 b$
$7 b + 1$ $=$ $- 41$ $- 1$
$7 b$ $=$ $- 42$ $: 7$
$b$ $=$ $- 6$
Setze $- 6$ in $I$ oder $I I$ ein und berechne $c$
$c = - 6 + 1 = - 5$
$c = - 5$ jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.
$p_{3} : y = x^{2} - 6 x - 5$
Die Parabel $p_{4}$ hat die Funktionsgleichung $p_{4}$ : $3 y + 2 x^{2} = - (- 36 x + 24 + x^{2})$ . Begründen Sie mithilfe einer Rechnung, dass die Parabel nach unten geöffnet ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel
Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:
$f (x) = a x^{2} + b x + c$
für den Öffnungsfaktor $a$ gilt: $a > 0 \Rightarrow Parabel ist nach oben geöffnet$
$a < 0 \Rightarrow Parabel ist nach unten geöffnet$
Löse die Funktionsgleichung der Parabel $p_{4}$ nach $y$ auf.
$p_{4} : 3 y + 2 x^{2} = - (- 36 x + 24 + x^{2})$
löse die Klammer auf
↓
$3 y + 2 x^{2}$ $=$ $36 x - 24 - x^{2}$ $- 2 x^{2}$
↓
subtrahiere
$3 y$ $=$ $- 3 x^{2} + 36 x - 24$ $: 3$
↓
dividiere
$y$ $=$ $- x^{2} + 12 x - 8$
Da der Öffnungsfaktor $a$ negativ ist, ist die Parabel $p_{4}$ nach unten geöffnet.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$p_{2} : y$	$=$	$- x^{2} - 6 x - 5$
	↓	klammere (-) aus
	$=$	$- [x^{2} + 6 x + 5]$
	↓	quadratische Ergänzung
	$=$	$- [x^{2} + 6 x + 3^{2} - 3^{2} + 5]$
	$=$	$- [(x + 3)^{2} - 3^{2} + 5]$
	↓	Vorzeichen beachten
	$=$	$- (x + 3)^{2} + 3^{2} - 5$
	↓	zusammenfassen
$p_{2} : y$	$=$	$- {(x + 3)}^{2} + 4$

$b + 1$	$=$	$- 6 b - 41$	$+ 6 b$
$7 b + 1$	$=$	$- 41$	$- 1$
$7 b$	$=$	$- 42$	$: 7$
$b$	$=$	$- 6$

löse die Klammer auf
	↓
$3 y + 2 x^{2}$	$=$	$36 x - 24 - x^{2}$	$- 2 x^{2}$
	↓	subtrahiere
$3 y$	$=$	$- 3 x^{2} + 36 x - 24$	$: 3$
	↓	dividiere
$y$	$=$	$- x^{2} + 12 x - 8$