Aufgabengruppe II

Lösen Sie die folgende Gleichung rechnerisch. Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge an.

$\frac{8 x + 7}{(x + 1) \cdot (x + 2)} = \frac{9}{x + 2} - \frac{2 x}{x + 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Da ein Bruch nur definiert ist, wenn der Nenner $\neq 0$ lautet die Definitonsmenge

$𝔻 = ℝ ∖ {- 2; - 1}$

$\frac{8 x + 7}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$	$=$	$\frac{9}{x + 2} - \frac{2 x}{x + 1}$
$8 x + 7$	$=$	$\frac{9 \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)}{x + 2} - \frac{2 x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2)}{x + 2}$
	↓	kürze
$8 x + 7$	$=$	$9 x + 9 - 2 x^{2} - 4 x$
	↓	fasse zusammen
$8 x + 7$	$=$	$- 2 x^{2} + 5 x + 9$
$2 x^{2} + 3 x - 2$	$=$	$0$	$: 2$
$x^{2} + 1,5 x - 1$	$=$	$0$

$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x_{1,2} = \frac{- 1,5 \pm \sqrt{(- 1,5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 1}$

$x_{1,2} = \frac{- 1,5 \pm \sqrt{2,25 + 4}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1,5 \pm 2,5}{2}$

$x_{1} = 0,5$ und $x_{2} = - 2$ .

Da $x_{2} = - 2$ kein Element der Definitionsmenge ist, lautet die Lösungsmenge $𝕃 = {0,5}$ .

Multipliziere die Brüche zunächst mit dem Hauptnenner und löse dann die quadratische Gleichung.