Aufgabengruppe II

Lösen Sie die folgenden Aufgaben.

Eine nach oben geöffnete Normalparabel $p_{1}$ verläuft durch die Punkte $A (– 2 | – 3)$ und $B (2 | 5)$ . Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von $p_{1}$ in der Normalform.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen für quadratische Funktionen
Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:
$f (x) = a x^{2} + b x + c$
Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a = 1$
Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.
$\begin{array}{llrcl} Aus A (- 2 | - 3) : & I & - 3 & = & 1 \cdot (- 2)^{2} + b \cdot (- 2) + c \\ Aus B (2 | 5) : & I I & 5 & = & 1 \cdot (2)^{2} + b \cdot (2) + c \end{array}$
Berechnung der Parameter mit dem Gleichsetzungsverfahren;
$\begin{array}{llrcl} I & - 3 & = & 4 - 2 b + c \end{array} \Rightarrow c = 2 b - 7$
$\begin{array}{llrcl} I I & 5 & = & 4 + 2 b + c \end{array} \Rightarrow c = - 2 b + 1$
Setze $I = I I$
$2 b - 7$ $=$ $- 2 b + 1$
↓
fasse zusammen
$4 b$ $=$ $8$ $: 4$
$b$ $=$ $2$
Setze $2$ in $I$ oder $I I$ ein und berechne $c$ .
$c = 4 - 7 = - 3$
$c = - 3$
jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.
$p_{1} : y = x^{2} + 2 x - 3$
Eine weitere Normalparabel $p_{2}$ hat die Funktionsgleichung $y = x^{2} - 5 x + 2,25$ . Bestimmen Sie rechnerisch die Scheitelpunktform und geben Sie den Scheitelpunkt $S_{2}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:
$f (x)$ $=$ $y = x^{2} - 5 x + 2,25$
↓
Quadratische Ergänzung.
$=$ $x^{2} - 5 x + {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} + 2,25$
↓
In eine Binomische Formel umschreiben
$=$ ${(x - 2,5)}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} + 2,25$
$=$ ${(x - 2,5)}^{2} - 4$
Jetzt kannst Du den Scheitelpunk ablesen: $S_{2} (2,5 | - 4)$
Die Normalparabel $p_{2}$ schneidet die x-Achse in den Punkten $N_{1}$ und $N_{2}$ .
Berechnen Sie die x-Koordinaten dieser Nullstellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$ -Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel.
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x^{2} - 5 x + 2,25 = 0$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2,25}}{2}$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 9}}{2} \Rightarrow x_{1} = 4,5$
$x_{2} = 0,5$
Eine nach unten geöffnete Normalparabel $p_{3}$ hat den Scheitelpunkt $S_{3} (3 | 4) .$ Ermitteln Sie rechnerisch die Normalform der Funktionsgleichung von $p_{3}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Der Scheitel der Parabel $p_{3}$ ist laut Angabe: $S_{3} (3 | 4)$
Die Scheitelform lautet:
$f (x) = a (x - d)^{2} + e$
Setze die entsprechenden Werte des Scheitels $S_{3}$ ein.
$p_{3} : y = - (x - 3)^{2} + 4$
die Normalform ist dann:
$p_{3} : y = - x^{2} + 6 x - 5$
Zeichnen Sie die Normalparabeln $p_{1}$ und $p_{3}$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel zeichnen
Überprüfen Sie nachvollziehbar, ob folgende Aussage richtig oder falsch ist:
Der Punkt $D (0 | 1)$ ist ein gemeinsamer Punkt der Normalparabel
$p_{4}$ : $y = (x – 2)^{2} – 3$ und der Geraden $g$ : $y = x – 3.$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt zweier Funktionen berechnen
Setze den $x$ Wert des Punktes D in die Geradengleichung $g : y = x - 3$ ein und berechne $y$ .
$y = 0 - 3 \Rightarrow y = - 3$
Die Gerade schneidet die $y$ -Achse bei $(0 | - 3)$ , also liegt $D$ nicht auf $g$ .
Die Normalparabel $p_{4}$ wird an der x-Achse gespiegelt. Geben Sie die Scheitelpunktform der so entstandenen Normalparabel $p_{5}$ an

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
Für die Spiegelung an der $x$ -Achse muss der Funktionsterm mit $(- 1)$ multipliziert werden.
$p_{4} : y = (x - 2)^{2} - 3 = \Rightarrow p_{5} : y = - 1 [\cdot (x - 2)^{2} - 3] = - 1 \cdot (x - 2)^{2} - 1 \cdot (- 3)$
Scheitelpunktform von $\begin{array}{l} p_{5} : \\ p_{5} : y = - (x - 2)^{2} + 3 \end{array}$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$2 b - 7$	$=$	$- 2 b + 1$
	↓	fasse zusammen
$4 b$	$=$	$8$	$: 4$
$b$	$=$	$2$

$f (x)$	$=$	$y = x^{2} - 5 x + 2,25$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$x^{2} - 5 x + {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} + 2,25$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben
	$=$	${(x - 2,5)}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} + 2,25$
	$=$	${(x - 2,5)}^{2} - 4$