Aufgabengruppe II

Lösen Sie die folgenden Aufgaben

Die Gerade $g_{1}$ hat die Funktionsgleichung $y = – 0,5 x + 3$ . Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $N$ von $g_{1}$ mit der x-Achse und geben Sie $N$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_{1}$ mit der
x-Achse.
Setze $g_{1} = 0$ und berechne $x$ .
$- 0,5 x + 3 = 0$
$- 0,5 x + 3$ $=$ $0$ $- 3$
$- 0,5 x$ $=$ $- 3$ $: - 0,5$
$x$ $=$ $6$
Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $g_{1}$ mit der $x -$ Achse sind dann:
$N (6 | 0)$
Übertragen Sie die Wertetabelle zur Geraden $g_{1}$ auf Ihr Lösungsblatt und ergänzen Sie die fehlenden Werte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertetabelle
Berechne $x$ und $y$ indem Du die entsprechenden Werte in die Funktionsgleichung einsetzt.
Berechne y:
$- 0,5 x + 3 = y \Rightarrow - 0,5 \cdot 5 + 3 = y \Rightarrow y = - 2,5 + 3 \Rightarrow y = 0,5$
Berechne x:
$- 0,5 x + 3 = y \Rightarrow - 0,5 x + 3 = 21 \Rightarrow - 0,5 x = 18 \Rightarrow x = - 36$
Übertrage die Werte in die Wertetabelle.
$Wertetabelle:$
Die Gerade $g_{2}$ verläuft durch den Punkt $B (– 2,5 | 0)$ und steht senkrecht auf der Geraden $g_{1}$ .
Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden $g_{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
$g_{1} : y = - 0,5 x + 3 \Rightarrow m_{1} = - 0,5$
da die Gerade $g_{2}$ senkrecht auf der Geraden $g_{1}$ steht, gilt: $\begin{array}{l} m_{1} \cdot m_{2} = - 1 \Rightarrow m_{2} = \frac{- 1}{m_{1}} = \frac{- 1}{- 0,5} \Rightarrow m_{2} = 2 \end{array}$
Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:
$y = m x + t$
Setze $m_{2}$ und die Koordinaten des Punktes $B$ in die Gleichung ein.
$0 = 2 \cdot (- 2,5) + t_{2} \Rightarrow t_{2} = 5$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{2}$ lautet:
$g_{2} : y = 2 x + 5$
Zeichnen Sie die Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Die Skizze ist nicht massgetreu.
Die Gerade $g_{3}$ verläuft durch die Punkte $C (– 1 | – 1)$ und $D (4 | 1)$ . Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von $g_{3}$ rechnerisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y = m \cdot x + t$
Setze $C$ und $D$ in die Geradengleichung ein.
$(C) : - 1 m + t = - 1$
$(D) : 4 m + t = 1 \Rightarrow t = 1 - 4 m$
$(D) i n (C) : - 1 m + (1 - 4 m)$ $=$ $- 1$
↓
fasse zusammen
$- 5 m + 1$ $=$ $- 1$ $- 1$
$- 5 m$ $=$ $- 2$ $: (- 5)$
$m$ $=$ $\frac{2}{5}$
Setze $m$ in $(D)$ ein und berechne $t$ .
$t = 1 - 4 \cdot \frac{2}{5} \Rightarrow t = \frac{5}{5} - \frac{8}{5} = - \frac{3}{5} \Rightarrow t = - \frac{3}{5}$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{3}$ lautet:
$g_{3} : y = \frac{2}{5} x - \frac{3}{5}$
Die Gerade $g_{4}$ : $– 0,5 x = – 5 – y$ schneidet die Gerade $g_{1}$ im Punkt $T$ . Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten dieses Schnittpunkts $T$ und geben Sie $T$ an

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Berechnung des Schnittpunktes $T$ .
Stelle die Geradengleichung $g_{4}$ nach $y$ um und setze $g_{1} = g 4$ .
$g_{4} : – 0,5 x = – 5 – y \Rightarrow y = 0,5 x - 5$
Setze $g_{1} = g_{4}$
$- 0,5 x + 3$ $=$ $0,5 x - 5$ $- 0,5 x$
$- x + 3$ $=$ $- 5$ $- 3$
$- x$ $=$ $- 8$ $: (- 1)$
$x$ $=$ $8$
Setze $x = 8$ in $g_{1}$ oder $g_{4}$ ein und berechne $y .$
$x$ eingesetzt in $g_{1}$ ergibt:
$- 0,5 \cdot 8 + 3 = y \Rightarrow y = - 1$
Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann:
$T (8 | - 1)$
Gegeben ist der Graph der Funktion $g_{5}$ (siehe Zeichnung). Geben Sie die Funktionsgleichung der Geraden $g_{5}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y = m \cdot x + t$
Den $y$ -Achsenabschnitt kannst Du aus der Skizze ablesen: $t = 1$
Setze die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $g_{5}$ mit der $x$ -Achse in die Geradengleichung ein, und berechne die Steigung $m$ .
$\begin{array}{l} y = m x + t \\ 0 = - 4 m + 1 | + (4 m) \\ 4 m = 1 | : (4) \Rightarrow m = \frac{1}{4} \end{array}$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{5}$ lautet:
$g_{5} : y = \frac{1}{4} x + 1$
Berechnen Sie den Winkel α (siehe Zeichnung).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Der Tangens im rechwinkligen Dreieck ist definiert als:
$\tan (α) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
$\tan (α) = \frac{1}{4} \Rightarrow α = {14,04}^{\circ}$
Der Winkel $α$ beträgt: $α \approx 14^{\circ}$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$(D) i n (C) : - 1 m + (1 - 4 m)$	$=$	$- 1$
	↓	fasse zusammen
$- 5 m + 1$	$=$	$- 1$	$- 1$
$- 5 m$	$=$	$- 2$	$: (- 5)$
$m$	$=$	$\frac{2}{5}$

$- 0,5 x + 3$	$=$	$0,5 x - 5$	$- 0,5 x$
$- x + 3$	$=$	$- 5$	$- 3$
$- x$	$=$	$- 8$	$: (- 1)$
$x$	$=$	$8$