Aufgabengruppe I

Lösen Sie folgende Aufgaben.

Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden $g_{1}$ , die durch die Punkte $A (4 | - 1)$ und B $(6 | 1)$ verläuft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y = m \cdot x + t$
Setze $A$ und $B$ in die Geradengleichung ein.
$(A) : 4 m + t = - 1$
$(B) : 6 m + t = 1 \Rightarrow t = 1 - 6 m$ eingesetzt in $A$
$(B) i n (A) : 4 m + (1 - 6 m)$ $=$ $- 1$
↓
fasse zusammen
$- 2 m + 1$ $=$ $- 1$ $- 1$
$- 2 m$ $=$ $- 2$ $: - 2$
$m$ $=$ $1$
Setze $m$ in $(B)$ ein und berechne $t$ .
$t = 1 - 6 \cdot 1 \Rightarrow t = - 5$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{1}$ lautet:
$g_{1} : y = x - 5$
Die Gerade $g_{2}$ verläuft durch den Punkt $C (2 | 4)$ und steht senkrecht auf der Geraden $g_{3}$ : $\frac{y}{x} = 1$ . Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden $g_{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
$g_{3} : \frac{x}{y} = 1 \Rightarrow g_{3} : y = x \Rightarrow m_{3} = 1$
da die Gerade $g_{2}$ senkrecht auf der Geraden $g_{3}$ steht, gilt: $\begin{array}{l} m_{2} \cdot m_{3} = - 1 \Rightarrow m_{2} = m_{3} \cdot - 1 \Rightarrow m_{2} = - 1 \end{array}$
Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:
$y = m x + t$
Setze $m_{2}$ und die Koordinaten des Punktes $C$ in die Gleichung ein.
$4 = (- 1) \cdot 2 + t_{2} \Rightarrow t_{2} = 6$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{2}$ lautet:
$g_{2} : y = - x + 6$
Zeichnen Sie die Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Die Skizze ist nicht massgetreu.
Geben Sie eine mögliche Funktionsgleichung einer Geraden $g_{4}$ an, die parallel zur
x-Achse verläuft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Mögliche Funktionsgleichung von $g_{4}$ :
z. B. $g_{4} : y = 3$
Hinweis: $g 4 :$ $y = t$ mit $t \in ℝ$
Der Punkt $D (- 3 | 3)$ liegt auf der Geraden $g_{5}$ : $y = m_{5} x - 9$ . Bestimmen Sie die Steigung $m_{5}$ rechnerisch.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Die Steigung $m_{5}$ bestimmen:
Setze die Koordinaten des Punktes $D$ in die Gerade $g_{5} : y = m_{5} - 9$ ein.
$3 = m_{5} \cdot (- 3) - 9 \Rightarrow 3 = - 3 m_{5} - 9 \Rightarrow 3 m_{5} = - 12$
$m_{5} = \frac{- 12}{3} \Rightarrow m_{5} = - 4$
Die Geraden $g_{6}$ : $y = 2 x - 7$ und $g_{7}$ : $y = - \frac{1}{2} x + 3$ schneiden sich im Punkt $S .$ Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ und geben Sie $S$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Berechnung des Schnittpunktes $S$ .
Setze $g_{6} = g_{7}$
$2 x - 7$ $=$ $- \frac{1}{2} x + 3$ $+ \frac{1}{2} x + 7$
↓
addiere
$2,5 x$ $=$ $10$ $: 2,5$
↓
dividiere
$x$ $=$ $4$
Setze $x = 4$ in $g_{6}$ oder $g_{7}$ ein und berechne $y .$
x eingesetzt in $g_{6}$ ergibt:
$2 \cdot 4 - 7 = y \Rightarrow y = 1$
Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann:
$S (4 | 1)$
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_{7}$ mit der
x-Achse und geben Sie $N$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_{7}$ mit der
x-Achse.
Setze $g_{7} = 0$ und berechne $x$ .
$- \frac{1}{2} x + 3 = 0$
$- \frac{1}{2} x + 3$ $=$ $0$ $- 3$
$- \frac{1}{2} x$ $=$ $- 3$ $\cdot (- 2)$
$x$ $=$ $6$
Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $g_{7}$ mit der $x -$ Achse sind dann:
$N (6 | 0)$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$(B) i n (A) : 4 m + (1 - 6 m)$	$=$	$- 1$
	↓	fasse zusammen
$- 2 m + 1$	$=$	$- 1$	$- 1$
$- 2 m$	$=$	$- 2$	$: - 2$
$m$	$=$	$1$

$2 x - 7$	$=$	$- \frac{1}{2} x + 3$	$+ \frac{1}{2} x + 7$
	↓	addiere
$2,5 x$	$=$	$10$	$: 2,5$
	↓	dividiere
$x$	$=$	$4$

$- \frac{1}{2} x + 3$	$=$	$0$	$- 3$
$- \frac{1}{2} x$	$=$	$- 3$	$\cdot (- 2)$
$x$	$=$	$6$