Aufgabengruppe I

Bekannt sind folgende Grössen:

Bevölkerungsstand im Jahr 2010: $67279$ Einwohner.

Bevölkerungsstand im Jahr 2019: $81240$ Einwohner.

Berechne das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum in Prozent.

$81240=67279\cdot q^9\Rightarrow q=\sqrt[9]{{\displaystyle \frac{81240}{67279}}}\Rightarrow q\approx \mathrm{1,021}\Rightarrow p=\mathrm{2,1}\%$

Das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum beträgt $\mathrm{2,1}\%$.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$N\left(t\right)=N_0\cdot (1-p{)}^t$

$N_t=3245p=\mathrm{1,3}\%t=2\text{Jahre}$ setze die Werte in die Formel ein.

$3245=N_0\cdot (1-\mathrm{0,013}{)}^2$

$3245=N_0\cdot {\mathrm{0,987}}^2$

$N_0=3245:{\mathrm{0,987}}^2$

$N_0=\mathrm{3331,044}$

Vor $2$ Jahren waren es $3331$ Kinder.

Die Formel fur das exponentielle Wachstum lautet:

$N\left(t\right)=N_0\cdot (1+p{)}^t$

$N_t=2\cdot 67279p=\mathrm{3,75}\%N_0=67279$setzte die Werte in die Formel ein.

$2\cdot 67279=67279\cdot (1+\mathrm{0,0375}{)}^t$

$2=(\mathrm{1,0375}{)}^t$

Berechne $\text{t}$ mit Hilfe des Logarithmus.

${\log }_{\mathrm{1,0375}}(2)=t$

$t={\displaystyle \frac{lg2}{lg\mathrm{1,0375}}}\Rightarrow t={\displaystyle \frac{\mathrm{0,301}}{\mathrm{0,016}}}\Rightarrow t=\mathrm{18,8}$

Die Bevölkerungszahl würde sich nach ungefähr 19 Jahren verdoppelt haben.