Aufgabengruppe I

Normalparabel

Formen Sie die Funktionsgleichung der Normalparabel $p_{1} : y = x^{2} + 2 x - 3$ in die Scheitelpunktform um und geben Sie den Scheitelpunkt $S_{1}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:
$f (x)$ $=$ $x^{2} + 2 x - 3$
↓
Quadratische Ergänzung.
$=$ $x^{2} + 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 3$
↓
In eine Binomische Formel umschreiben
$=$ ${(x + 1)}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 3$
$=$ ${(x + 1)}^{2} - 4$
Jetzt kannst Du den Scheitelpunk ablesen: $S (- 1 | - 4)$
Überprüfen Sie durch Rechnung, ob die Punkte $A (- 2 | - 3)$ und $B (2 | 5)$ auf der Normalparabel $p_{1}$ liegen.
- Weder Punkt $A (- 2 | - 3)$ noch Punkt $B (2 | 5)$ liegen auf der Normalparabel $p_{1}$ .
- Die Punkte $A (- 2 | - 3)$ und $B (2 | 5)$ liegen beide auf der Normalparabel $p_{1}$ .
- Nur Punkt $A (- 2 | - 3)$ liegt auf der Normalparabel $p_{1}$ .
- Nur Punkt $B (2 | 5)$ liegt auf der Normalparabel $p_{1}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktion
$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$
setze die die x-Werte der Punkte $A$ und $B$ in den Funktionsterm ein und vergleiche den jeweiligen Funktionswert.
$f (- 2) = (- 2)^{2} + 2 \cdot (- 2) - 3 = 4 - 4 - 3 = - 3$
$f (- 2) = - 3 \Rightarrow$ der Punkt $A$ liegt auf der Parabel $p_{1}$
$f (2) = (2)^{2} + 2 \cdot (2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$
$f (2) = 5 \Rightarrow$ der Punkt $B$ liegt auf der Parabel $p_{1}$
Die Normalparabel $p_{1}$ schneidet die x-Achse in den Punkten $P$ und $Q$ . Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten dieser beiden Punkte und geben Sie $P$ und $Q$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichung
Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$ -Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x^{2} + 2 x - 3 = 0$
$x_{1,2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2}$
$x_{1,2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \Rightarrow x_{1} = 1 \Rightarrow Q (1 | 0)$
$x_{2} = - 3 \Rightarrow P (- 3 | 0)$
Die nach unten geöffnete Normalparabel $p_{2}$ verläuft durch die Punkte $C (1 | - 6)$ und $D (- 4 | - 1)$ . Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von $p_{2}$ in der Normalform.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsterm aufstellen für quadratische Funktionen
Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:
$f (x) = a x^{2} + b x + c$
Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a = (- 1)$
Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.
$\begin{array}{llrcl} Aus C (1 | - 6) : & I & - 6 & = & - 1 \cdot (1)^{2} + b \cdot (1) + c \\ Aus D (- 4 | - 1) : & I I & - 1 & = & - 1 \cdot (- 4)^{2} + b \cdot (- 4) + c \end{array}$
Berechnung der Parameter mit dem Gleichsetzungsverfahren;
$\begin{array}{llrcl} I & - 6 & = & - 1 + b + c \end{array} \Rightarrow c = - b - 5$
$\begin{array}{llrcl} I I & - 1 & = & - 16 - 4 b + c \end{array} \Rightarrow c = 4 b + 15$
Setze $I = I I$
$- b - 5$ $=$ $4 b + 15$
↓
fasse zusammen
$- 5 b$ $=$ $20$ $: - 5$
$b$ $=$ $- 4$
Setze $- 4$ in $I$ oder $I I$ ein und berechne $c$
$c = 4 - 5 = - 1$
$c = - 1$ jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen
$p_{2} : y = - x^{2} - 4 x - 1$
Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen einer Normalparabel $p_{3}$ . Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von $p_{3}$ in der Normalform.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Allgemeine Form und Scheitelform einer quadratischen Funktion
Aus der Abbildung kannst Du den Scheitel der Parabel $p_{3}$ ablesen: $S_{3} (- 2 | 6)$
stelle die Scheitelform der Parabel $p_{3}$ auf, die Scheitelform lautet:
$f (x) = a (x - d)^{2} + e$
Setze die entsprechenden Werte des Scheitels $S_{3}$ ein.
$p_{3} : y = - (x + 2)^{2} + 6$
die Normalform ist dann:
$p_{3} : y = - x^{2} - 4 x + 2$
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte $T$ und $U$ der Normalparabel
$p_{4}$ : $y = x^{2} - 2 x + 1$ mit der Geraden $g :$ $y = 2 x - 2$ und geben Sie $T$ und $U$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
$x^{2} - 2 x + 1$ $=$ $2 x - 2$ $- 2 x$
↓
subtrahiere
$x^{2} - 4 x + 1$ $=$ $- 2$ $+ 2$
↓
addiere
$x^{2} - 4 x + 3$ $=$ $0$
Löse jetzt die Quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel
$x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow x_{1,2} = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$
$x_{1,2} = \frac{4 \pm 2}{2 \cdot 1} = 2 \pm 1$
$x_{1} = 1$
$x_{2} = 3$
Setze $x_{1}$ und $x_{2}$ in z.B. $g : y = 2 x - 2$ ein und bestimme $y_{1}$ und $y_{2}$
Du kannst $x_{1}$ und $x_{2}$ auch in $p_{4} : y = x^{2} - 2 x + 1$ einsetzen.
$y_{1} = 1 \cdot 2 - 2 = 0 \Rightarrow T (1 | 0)$
$y_{2} = 3 \cdot 2 - 2 = 4 \Rightarrow U (3 | 4)$
Berechne die Schnittpunkte $T$ und $U$ der Normalparabel $p_{4} :$ $y = x^{2} - 2 x + 1$
mit der Geraden $g :$ $y = 2 x - 2$ , indem du die Funktionsterme gleichsetzt und diese Gleichung anschließend nach $x$ auflöst.
Zeichnen Sie die Graphen der Normalparabeln $p_{1}$ und $p_{2}$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel zeichnen

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$f (x)$	$=$	$x^{2} + 2 x - 3$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$x^{2} + 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 3$
	↓	In eine Binomische Formel umschreiben
	$=$	${(x + 1)}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} - 3$
	$=$	${(x + 1)}^{2} - 4$

$- b - 5$	$=$	$4 b + 15$
	↓	fasse zusammen
$- 5 b$	$=$	$20$	$: - 5$
$b$	$=$	$- 4$

$x^{2} - 2 x + 1$	$=$	$2 x - 2$	$- 2 x$
	↓	subtrahiere
$x^{2} - 4 x + 1$	$=$	$- 2$	$+ 2$
	↓	addiere
$x^{2} - 4 x + 3$	$=$	$0$