Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Für die logistische Wachstumsfunktion gilt die Funktionsgleichung:

$B(t)={\displaystyle \frac{S}{1+(\frac{S}{B_0}-1)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}}$

Hier ist die Funktion $B(t)={\displaystyle \frac{250}{1+4\cdot e^{-\mathrm{0,625}\cdot t}}}$ gegeben.

Die Schranke $S$ ist im Zähler des Bruches zu finden, also ist $S=250$.

Antwort: Die Schranke $S$ für diese logistische Funktion ist $250$.

$B_0=B(0)$

Setze $t=0$ in die gegebene logistische Funktion ein.

Antwort: Der Anfangswert des Bestandes ist $B_0=50$.

Die Wachstumskonstante $k$ steht im Exponenten der $e$-Funktion.

$B(t)={\displaystyle \frac{S}{1+(\frac{S}{B_0}-1)\cdot e^{-S\cdot k\cdot t}}}$ und $B(t)={\displaystyle \frac{250}{1+4\cdot e^{-\mathrm{0,625}\cdot t}}}$

Betrachte die Exponenten der $e$-Funktionen: $-S\cdot k\cdot t$ und $-\mathrm{0,625}\cdot t$

Durch Vergleich findet man: $S\cdot k=\mathrm{0,625}$

Da $S=250$ ist, folgt: $250\cdot k=\mathrm{0,625}\Rightarrow k={\displaystyle \frac{\mathrm{0,625}}{250}}=\mathrm{0,0025}$

Antwort: Die Wachstumskonstante ist $k=\mathrm{0,0025}$.