Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen

Bei dieser Aufgabe entspricht $B(t)$ der Temperatur $T(t)$ in ${}^{\circ }\mathrm{C}$ des Tiefkühlgutes und $t$ ist die Zeit in Minuten.

Die obere Schranke $S$ ist die Zimmertemperatur von ${21}^{\circ }\mathrm{C}$. Der Anfangswert $B_0$ ist hier die Anfangstemperatur $T_0=-\mathrm{11,6}{}^{\circ }\mathrm{C}$. Somit ergibt sich folgende Gleichung für die beschränkte Temperaturzunahme:

$${\displaystyle T(t)=21+(-\mathrm{11,6}-21)\cdot e^{-k\cdot t}=21-\mathrm{32,6}\cdot e^{-k\cdot t}}$$.

Die Wachstumskonstante $k$ kann über die Angabe $T(15)=-\mathrm{7,8}{}^{\circ }\mathrm{C}$ berechnet werden.

Antwort: Die Gleichung für die Temperaturzunahme lautet:

$${\displaystyle T(t)=21-\mathrm{32,6}\cdot e^{-\mathrm{0,00826}\cdot t}}$$, $T(t)$ in ${}^{\circ }\mathrm{C}$ und $t$ in Minuten.

Setze $T(t)=20$ :

Antwort: Nach etwa $422\min$ oder rund $7$ Stunden hat sich das Tiefkühlgut auf $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ erwärmt.

Erstelle eine Tabelle mit einigen Funktionswerten:

Trage die berechneten Funktionswerte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte. Die Asymptote hat hier die Gleichung $y=21$ (Schranke $S$).