Mathe Geometrie Analytische Geometrie Spiegelungen in der analytischen Geometrie Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

Aufgaben zur Spiegelung in der analytischen Geometrie

Spiegele die Gerade $g$ an der Geraden $h$ .

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$ . Die Gerade $g$ ist (echt) parallel zur Geraden $h$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Geraden

Lösung der Aufgabe mit Hilfsebene H

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und dem Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden $g$ als Normalenvektor:

$H : (\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = 0$

2. Schneide $h$ mit $H$ :

$(\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Setze $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$ ein.
$((\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$((\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen
$(\begin{array}{c} 2 + 2 s \\ 1 + s \\ 2 - s \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$(2 + 2 s) \cdot 2 + (1 + s) \cdot 1 + (2 - s) \cdot (- 1)$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$4 + 4 s + 1 + s - 2 + s$	$=$	$0$
	↓	Löse nach $s$ auf.
$6 s + 3$	$=$	$0$	$- 3$
$6 s$	$=$	$- 3$	$: 6$
$s$	$=$	$- \frac{3}{6}$
	↓	Kürze
$s$	$=$	$- \frac{1}{2}$

Setze $s = - \frac{1}{2}$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\vec{x}}_{F} = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + (- \frac{1}{2}) \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 - 1 \\ 1 - \frac{1}{2} \\ 3 + \frac{1}{2} \end{array}) = (\begin{array}{c} 5 \\ 0,5 \\ 3,5 \end{array}) \Rightarrow$ $F (5 | 0,5 | 3,5)$

3. Berechne den Vektor $\vec{P F}$

$\vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} 5 \\ 0,5 \\ 3,5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \\ 2,5 \end{array})$

4. Setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein:

$\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \\ 2,5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 + 2 \\ 0 + 1 \\ 1 + 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 6 \end{array})$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{'} (6 | 1 | 6)$ .

5. Setze in $g^{'} : \vec{x} = \vec{O P^{'}} + t \cdot \vec{u}$ den Spiegelpunkt $P^{'}$ und den Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden $g$ ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet: $g^{'} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 6 \\ 1 \\ 6 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})$

$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 6 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 5 \end{array})$ und $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ . Die Geraden schneiden sich im Punkt $S (1 | 3 | 1)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung einer Geraden an einer Geraden

1. Erstelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ mit dem Aufpunkt $P$ der Geraden $g$ und dem Richtungsvektor $\vec{v}$ der Geraden $h$ als Normalenvektor:

$H : (\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 6 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = 0$

2. Schneide $h$ mit $H$ :

$(\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 6 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Setze $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$ ein.
$((\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 6 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne die Vektordifferenz in der Klammer.
$((\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ - 5 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})) \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$(\begin{array}{c} 1 - s \\ - 2 + s \\ - 5 + 0 s \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$(1 - s) \cdot (- 1) + (- 2 + s) \cdot 1 + (- 5 + 0 s) \cdot 0$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$- 1 + s - 2 + s + 0$	$=$
	↓	Fasse zusammen.
$2 s - 3$	$=$	$0$	$+ 3$
	↓	Löse nach $s$ auf.
$2 s$	$=$	$3$	$: 2$
$s$	$=$	$1,5$

Setze $s = 1,5$ in die Geradengleichung $h$ ein, um den Punkt $F$ zu berechnen.

${\vec{x}}_{F} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + 1,5 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 - 1,5 \\ 1 + 1,5 \\ 1 + 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1,5 \\ 2,5 \\ 1 \end{array}) \Rightarrow$ $F (1,5 | 2,5 | 1)$

3. Berechne den Vektor $\vec{P F}$

$\vec{P F} = \vec{O F} - \vec{O P} = (\begin{array}{c} 1,5 \\ 2,5 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 0,5 \\ - 0,5 \\ - 5 \end{array})$

4. Setze $\vec{O P}$ und $\vec{P F}$ in die Vektorgleichung $\vec{O P^{'}} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P F}$ ein:

$\vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 6 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} - 0,5 \\ - 0,5 \\ - 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 - 1 \\ 3 - 1 \\ 6 - 10 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array})$

Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{'} (1 | 2 | - 4)$ .

5. Berechne den Vektor $\vec{P^{'} S} = \vec{O S} - \vec{O P^{'}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 5 \end{array})$

Der berechnete Punkt $P^{'}$ ist der Aufpunkt der Spiegelgeraden $g^{'}$ . Die Spiegelgerade hat den Richtungsvektor $\vec{P^{'} S}$ (mit dem gegebenen Geradenschnittpunkt $S$ ):

$\Rightarrow g^{'} : \vec{x} = \vec{O P^{'}} + t \cdot \vec{P^{'} S}$

Setze in $g^{'}$ den Spiegelpunkt $P^{'}$ und den Richtungsvektor $\vec{P^{'} S}$ ein.

Antwort: Die Gleichung der Spiegelgeraden lautet $g^{'} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 4 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 5 \end{array})$ .

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