Aufgaben zu Kongruenz und Ähnlichkeit von Dreiecken

Der passende Ähnlichkeitssatz ist $SSS$, da drei Seitenlängen gegeben sind. Hier müssen drei Seitenverhältnisse berechnet werden, damit Ähnlichkeit vorliegt. Es gilt:$$

• ${\displaystyle \frac{a^{\prime }}{a}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}}{3}}=\mathrm{1,5}$

• ${\displaystyle \frac{b^{\prime }}{b}}={\displaystyle \frac{\mathrm{10,5}}{7}}=\mathrm{1,5}$

• ${\displaystyle \frac{c^{\prime }}{c}}={\displaystyle \frac{\mathrm{7,5}}{5}}=\mathrm{1,5}$

Damit sind $A$ und $B$ ähnlich. Schreibe

Der richtige Ähnlichkeitssatz lautet $WW$, denn es sind zwei Winkel angegeben. Eine Schwierigkeit ist es hier jedoch, dass nicht ${\beta }^{\prime }$ gegeben ist. Da jedoch die Winkelsumme in einem Dreieck immer $180°$ beträgt, lässt sich ${\beta }^{\prime }$ bestimmen:

Damit stimmen die Winkel $\alpha ,\beta$ mit ${\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime }$ überein. Die Dreiecke sind ähnlich:

Der richtige Ähnlichkeitssatz lautet $SsW$. Zu überprüfen sind also die beiden Seitenverhältnisse und ob die Winkel, gegenüber der längeren Seite, übereinstimmen.

• ${\displaystyle \frac{b^{\prime }}{b}}={\displaystyle \frac{6}{8}}=\mathrm{0,75}$

• ${\displaystyle \frac{a^{\prime }}{a}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,75}}{5}}=\mathrm{0,75}$

• $\beta ={\beta }^{\prime }=47°$

Damit sind $A$ und $B$ ähnlich.

Die Angaben würden zur Anwendung des $SWS$-Satzes führen. Beim Überprüfen der beiden Seitenverhältnisse ergibt sich jedoch:

• ${\displaystyle \frac{a^{\prime }}{a}}={\displaystyle \frac{\mathrm{13,5}}{\mathrm{4,5}}}=3$

• ${\displaystyle \frac{b^{\prime }}{b}}={\displaystyle \frac{16}{8}}=2$

Die Seitenverhältnisse sind damit nicht gleich, es liegt keine Ähnlichkeit vor.

Da hier gleichschenklige Dreiecke vorliegen gilt:

$\alpha =\beta$ bzw. im zweiten Dreieck ${\alpha }^{\prime }={\beta }^{\prime }$.

Da von Dreieck $A$ allerdings nur $\gamma =94°$ bekannt ist, müssen die verbleibenden Winkel ausgerechnet werden. Aufgrund der Winkelsumme müssen $\alpha$ und $\beta$ zusammen mit $\gamma$, $180°$ ergeben.

Das heißt $\alpha$ und $\beta$ ergeben zusammen: $180°-94°=86°$

Da die beiden Winkel gleich sind, betragen sie jeweils $43°$.

Die Dreiecke stimmen damit in zwei Winkel überein und sind damit ähnlich: