Aufgaben zu Polarkoordinaten

Rechne die Koordinaten wie angegeben um.

Berechne die Polarkoordinaten von $(x, y) = (- 1, \sqrt{3})$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polarkoordinaten
Für die Umrechnung in Polarkoordinaten musst du den Betrag $r$ sowie den Winkel $φ$ berechnen.
Den Betrag $r$ berechnest du mit der Formel $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ . Durch Einsetzen der Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung erhältst du:
$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(- 1)^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$
Den Winkel $φ$ berechnest du mit $φ = \arccos (\frac{x}{r})$ für $y \geq 0$ bzw. mit $φ = 2 π - \arccos (\frac{x}{r})$ für $y < 0$ . In diesem Fall ist $y = \sqrt{3} > 0$ . Also brauchst du die erste Formel.
$φ = \arccos (\frac{x}{r}) = \arccos (\frac{- 1}{2}) = \frac{2}{3} π$
Also ist der angegebene Punkt in Polarkoordinaten: $(r, φ) = (2, \frac{2}{3} π)$ .
Arbeite mit den Formeln zur Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten
Berechne die kartesischen Koordinaten von dem Punkt $(r, φ) = (4, \frac{4}{3} π)$ in Polarkoordinaten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polarkoordinaten
Es gilt:
$x = r \cdot \cos (φ)$
$y = r \cdot \sin (φ)$
Durch Einsetzen der Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung erhältst du:
$x = 4 \cdot \cos (\frac{4}{3} π) = 4 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 2$
$y = 4 \cdot \sin (\frac{4}{3} π) = 4 \cdot (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - 2 \sqrt{3}$
Der angegebene Punkt lautet in kartesischen Koordinaten also: $(x, y) = (- 2, - 2 \sqrt{3})$ .
Verwende die Formeln für die Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten.
Berechne die Zylinderkoordinaten von $(x, y, z) = (- 2,2,3)$ .

Die $z$ -Koordinate bleibt bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten erhalten. Du musst daher - wie bei den Polarkoordinaten - nur den Betrag $r$ und den Winkel $φ$ ausrechnen.
Den Betrag $r$ kannst du mit der Formel $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ausrechnen. Durch Einsetzen erhältst du:
$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(- 2)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$
Den Winkel $φ$ berechnest du mit $φ = \arccos (\frac{x}{r})$ für $y \geq 0$ bzw. mit $φ = 2 π - \arccos (\frac{x}{r})$ für $y < 0$ . In diesem Fall ist $y = 2 > 0$ . Also brauchst du die erste Formel.
$φ = \arccos (\frac{x}{r}) = \arccos (\frac{- 2}{2 \sqrt{2}}) = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{2}}) = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3}{4} π$
Die Darstellung des Punktes in Zylinderkoordinaten lautet also: $(r, φ, z) = (2 \sqrt{2}, \frac{3}{4} π, 3)$ .
Verwende die Formeln zur Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten. Das sind dieselben wie die zur Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten. Die $z$ -Koordinate bleibt bei der Umwandlung dieselbe.
Berechne die kartesischen Koordinaten von dem Punkt $(r, φ, z) = (3, \frac{π}{3}, - 4)$ in Zylinderkoordinaten.

Die $z$ -Koordinate bleibt bei der Umrechnung dieselbe. Du musst also nur noch die $x$ und $y$ Koordinate berechnen.
Die Formeln hierfür sind genau wie bei den Polarkoordinaten:
$x = r \cdot \cos (φ) y = r \cdot \sin (φ)$
Durch Einsetzen erhältst du:
$x = r \cdot \cos (φ) = 3 \cdot \cos (\frac{π}{3}) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$y = r \cdot \sin (φ) = 3 \cdot \sin (\frac{π}{3}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$
Damit lautet die Darstellung des Punktes in kartesischen Koordinaten: $(x, y, z) = (\frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}, - 4)$ .
Verwende die Formeln zur Umrechnung von Zylinderkoordinaten in kartesischen Koordinaten. Das sind dieselben wie die zur Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten. Die $z$ -Koordinate bleibt bei der Umwandlung dieselbe.
Berechne die Kugelkoordinaten von $(x, y, z) = (2 \sqrt{3}, 6, - 4)$ .

Für die Umrechnung in Kugelkoordinaten musst du den Betrag $r$ sowie die beiden Winkel $φ$ und $θ$ berechnen.
Die Formel für $r$ lautet: $r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ . Durch Einsetzen der Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung erhältst du:
$r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = \sqrt{(2 \sqrt{3})^{2} + 6^{2} + (- 4)^{2}} = \sqrt{12 + 36 + 16} = \sqrt{64} = 8$
Die Formel für $θ$ ist: $θ = \arccos (\frac{z}{r})$ . Setze die Zahlenwerte aus der Aufgabenstellung ein:
$θ = \arccos (\frac{z}{r}) = \arccos (\frac{- 4}{8}) = \arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2}{3} π$
Den Winkel $φ$ berechnest du mit $φ = \arccos (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})$ für $y \geq 0$ bzw. mit $φ = 2 π - \arccos (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})$ für $y < 0$ . In diesem Fall ist $y = 6 > 0$ . Also brauchst du die erste Formel.
$φ = \arccos (\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}) = \arccos (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{(2 \sqrt{3})^{2} + 6^{2}}}) = \arccos (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{12 + 36}}) = \arccos (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{48}}) = \arccos (\frac{2 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}}) = \arccos (\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} π$
Also ist der Punkt in Kugelkoordinaten: $(r, φ, θ) = (8, \frac{1}{3} π, \frac{2}{3} π)$ .
Verwende die Formeln zur Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten.
Berechne die kartesischen Koordinaten des Punktes $(r, φ, θ) = (8, \frac{π}{4}, \frac{π}{6})$ in Kugelkoordinaten.

Es gelten folgende Formeln:
$x = r \cdot \cos (φ) \cdot \sin (θ) y = r \cdot \sin (φ) \cdot \sin (θ) z = r \cdot \cos (θ)$
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung ein:
$x = r \cdot \cos (φ) \cdot \sin (θ) = 8 \cdot \cos (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{6}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2 \sqrt{2}$
$y = r \cdot \sin (φ) \cdot \sin (θ) = 8 \cdot \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{π}{6}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2 \sqrt{2}$
$z = r \cdot \cos (θ) = 8 \cdot \cos (\frac{π}{6}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}$
Also lautet die Darstellung des Punktes in kartesischen Koordinaten: $(x, y, z) = (2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, 4 \sqrt{3})$ .
Verwende die Formeln zur Umrechnung von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten.

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