Mathe Zahlen und Größen Sonstiges Komplexe Zahlen Aufgaben zu komplexen Zahlen

Aufgaben zu komplexen Zahlen

Berechne die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen.

$x^{2} + 4 x + 13 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Wende die Mitternachtsformel an:
	↓
$x_{1, 2}$	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$
	↓	Berechne den Term unter der Wurzel
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2}$
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{- 36}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel steht eine negative Zahl. Du kannst $- 36$ schreiben als $36 \cdot (- 1) = 36 \cdot i^{2}$
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{36 i^{2}}}{2}$
	↓	Nach den Wurzelgesetzen darf man ein Produkt unter der Wurzel in ein Produkt von zwei Wurzeln umwandeln:
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{36} \sqrt{i^{2}}}{2}$
	↓	Jetzt kannst du die Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\frac{- 4 \pm 6 \cdot i}{2}$
	↓	Den Bruch kannst du auflösen: Dafür teilst du jeden Summanden aus dem Zähler durch die $2$ im Nenner.
	$=$	$\frac{- 4}{2} \pm \frac{6 i}{2}$
	$=$	$- 2 \pm 3 i$

Jetzt musst du noch die zwei Lösungen aufschreiben. Dafür schreibst du statt dem $\pm$ für die erste Lösung ein $+$ und für die zweite Lösung ein $-$ .

$x_{1} = - 2 + 3 i$

$x_{2} = - 2 - 3 i$

Wende die Mitternachtsformel an und schreibe dann die Lösungen ggf. mit der imaginären Einheit $i$ auf.

$x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{25}{16} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Wende die Mitternachtsformel an.
	↓
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \frac{25}{16}}}{2 \cdot 1}$
	↓	Reche den Term unter der Wurzel aus.
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{100}{16}}}{2}$
	↓	Berechne die Zahl unter der Wurzel, indem du den linken Bruch mit $4$ erweiterst.
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{36}{16} - \frac{100}{16}}}{2}$
	↓	Nun kannst du die Brüche subtrahieren.
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{- 64}{16}}}{2}$
	↓	Den Bruch unter der Wurzel kannst du kürzen.
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{- 4}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel steht jetzt eine negative Zahl. Du kannst $- 4$ schreiben als $4 \cdot (- 1) = 4 \cdot i^{2}$
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{4 i^{2}}}{2}$
	↓	Nach den Rechenregeln für Wurzeln darfst du ein Produkt unter einer Wurzel als Produkt zweier Wurzeln schreiben.
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{4} \sqrt{i^{2}}}{2}$
	↓	Jetzt kannst du die Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm 2 i}{2}$
	↓	Den Bruch kannst du auflösen, indem du jeden Summanden im Zähler durch die $2$ im Nenner teilst.
	$=$	$- \frac{\frac{3}{2}}{2} \pm \frac{2 i}{2}$
	↓	Den Doppelbruch vorne kannst du auflösen, indem du $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ rechnest.
	$=$	$- \frac{3}{4} \pm i$

Jetzt musst du noch die beiden Lösungen einzeln aufschreiben. Dafür schreibst du für die erste Lösung statt dem $\pm$ ein $+$ und für die zweite ein $-$ .

$x_{1} = - \frac{3}{4} + i$

$x_{2} = - \frac{3}{4} - i$

Wende die Mitternachtsformel und schreibe die Lösungen ggf. mit $i$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 15 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Wende die Mitternachtsformel an
	↓
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 3)}$
	↓	Vereinfache den Term unter der Wurzel.
	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 180}}{- 6}$
	↓	Rechen die Zahl unter der Wurzel aus.
	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{- 144}}{- 6}$
	↓	Es steht eine negative Zahl unter der Wurzel. Du kannst $- 144$ schreiben als $144 \cdot (- 1) = 144 \cdot i^{2}$
	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{144 i^{2}}}{- 6}$
	↓	Nach den Rechenregeln für Wurzeln darfst du ein Produkt unter einer Wurzel als Produkt mehrerer Wurzeln schreiben.
	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{144} \sqrt{i^{2}}}{- 6}$
	↓	Jetzt kannst du die beiden Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\frac{- 6 \pm 12 i}{- 6}$
	↓	Den Bruch kannst du auflösen, indem du jeden Summanden aus dem Zähler durch die Zahl im Nenner teilst.
	$=$	$\frac{- 6}{- 6} \pm \frac{12 i}{- 6}$
	↓	Bemerkung: $\frac{12 i}{- 6} = - 2 i$ Das Vorzeichen ist allerdings im $\pm$ bereits enthalten, also kannst du das Vorzeichen hier ignorieren. Wer es ganz korrekt machen will, kann statt $\pm$ lieber $\mp$ schreiben.
	$=$	$1 \pm 2 i$

Jetzt kannst du noch die einzelnen Lösungen aufschreiben:

$x_{1} = 1 + 2 i$

$x_{2} = 1 - 2 i$

Wende die Mitternachtsformel an. Falls unter der Wurzel etwas Negatives steht, kannst du die Lösungen mit $i$ schreiben

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das? serlo.org