Aufgaben zu der Tangente

Berechne $f^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(x)=-x+3$

Setze mit der Steigung $m$ gleich.

$-2=-x+3$

Löse nach $x$ bzw. $x_0$ auf.

$x_0=5$

Berechne $f(x_0)$

$f(5)=-{\displaystyle \frac{25}{2}}+15={\displaystyle \frac{5}{2}}$

Setze $x_0,f(x_0),m$ in die Tangentenformel ein.

$g(x)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ $$ $\phantom{g(x)}=-2(x-5)+{\displaystyle \frac{5}{2}}$

Berechne $f^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(x)=-x^2+x+11$

Setze mit der Steigung $m$ gleich.

$5=-x^2+x+11$

Zwischenschritt: Bringe in die Nullform $$ und bestimme $p,q$.

$0=x^2-x-6$

Berechne $f(x_1),f(x_2)$

$f(3)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 3^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3^2+11\cdot 3-6$ $$ $\phantom{f(3)}=-9+{\displaystyle \frac{9}{2}}+33-6={\displaystyle \frac{45}{2}}$ $$ $f(-2)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot (-2{)}^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (-2{)}^2+11\cdot (-2)-6$ $$ $\phantom{f(-2)}={\displaystyle \frac{8}{3}}+2-22-6=-{\displaystyle \frac{70}{3}}$

Setze $x_1,f(x_1),m$ in die $$ Tangentenformel ein.

$g_1(x)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ $$ $\phantom{g(x)}=5(x-3)+{\displaystyle \frac{45}{2}}$

Setze $x_2,f(x_2),m$ in die $$ Tangentenformel ein.

$g_2(x)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ $$ $\phantom{g(x)}=5(x+2)-{\displaystyle \frac{70}{3}}$