Aufgaben zu Fasskreisbogen und Satz des Thales

Bei einem Dreieck in einem Thaleskreis beträgt ein Winkel ${90}^{\circ }$. Ein ${45}^{\circ }$ Winkel soll konstruiert werden, d.h. es muss ein gleichschenkliges Dreieck im Thaleskreis konstruiert werden. Der Punkt $C$ des Dreiecks muss senkrecht über dem Mittelpunkt $M$ liegen.

Konstruktion des Thaleskreises

Zeichne eine beliebige Strecke und markiere etwa in der Mitte den Mittelpunkt $M$ des Halbkreises.

Zeichne um $M$ einen Halbkreis $h$ mit einem beliebigen Radius z.B. $r=3\mathrm{cm}$. Der Halbkreis schneidet die Strecke in den Punkten $A$ und $B$.

Konstruktion eines gleichschenkligen Dreiecks

Konstruiere eine Mittelsenkrechte $m_{[AB]}$ auf der Strecke [AB] durch den Punkt $M$. Die Mittelsenkrechte schneidet den Halbkreis im Punkt $C$.

Verbinde die Punkte $A$ mit $C$ und $B$ mit $C$. Der Winkel $BAC$ beträgt ${45}^{\circ }$.

(Die Hilfslinien wurden entfernt.)

Es soll ein Winkel von ${30}^{\circ }$ konstruiert werden. Da das Dreieck im Thaleskreis rechtwinklig ist, sind die beiden anderen Winkel z.B. $\alpha ={60}^{\circ }$ und $\beta ={30}^{\circ }$.

Der ${60}^{\circ }$ Winkel ist einfach konstruierbar, da in einem gleichseitigen Dreieck alle drei Winkel ${60}^{\circ }$ betragen. Du musst also in dem Thaleskreis zunächst ein gleichseitiges Dreieck konstruieren. Als Seitenlänge bietet sich der Radius $r$ an.

Konstruktion des Thaleskreises

Zeichne eine beliebige Strecke und markiere etwa in der Mitte den Mittelpunkt $M$ des Halbkreises.

Zeichne um $M$ einen Halbkreis $h$ mit einem beliebigen Radius z.B. $r=3\mathrm{cm}$. Der Halbkreis schneidet die Strecke in den Punkten $A$ und $B$.

Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks

Zeichne um $A$ einen Kreisbogen mit dem Radius $r=3\mathrm{cm}$. Er schneidet den Halbkreis im Punkt $C$ und geht durch den Punkt $M$. Verbinde $A$ mit $C$ und $M$ mit $C$. Du hast ein gleichseitiges Dreieck $AMC$ mit der Seitenlänge $r$ konstruiert. Der Winkel $MAC$ beträgt $\alpha ={60}^{\circ }$.

Nun muss noch das Dreieck im Halbkreis $h$ ergänzt werden. Verbinde $B$ mit $C$. Das Dreieck im Thaleskreis ist jetzt fertig. Der Winkel $ABC$ beträgt $\beta ={30}^{\circ }$.