Nachtermin Teil B

Aufgabe B2

Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe $[M S]$ , deren Grundfläche das Drachenviereck $A B C D$ ist. $M$ ist der Diagonalenschnittpunkt des Drachenvierecks $A B C D$ .

Es gilt: $A C = 13 cm$ ; $A M = 9 cm$ ; $B D = 12 cm$ ; $M S = 8 cm$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei die Strecke $[A C]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll. Für die Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}$ ; $ω = 45 °$ .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke $[A S]$ und das Maß des Winkels SCA. (4 P)
$[$ Teilergebnisse: $A S = 12,04 cm$ ; $∢ S C A = 63,43 °$ $]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
Zeiche zuerst die Schrägbildachse, trage dann die Strecke $[B D]$ im Winkel $ω = 45^{\circ}$ zur Schrägbildachse an.
Berechne die Länge der Strecke $[A S]$ .
${A S}^{2} = {A M}^{2} + {M S}^{2} \Rightarrow A S = \sqrt{{A M}^{2} + {M S}^{2}}$
$A S = \sqrt{9^{2} + 8^{2}} cm$
$A S = 12,04 cm$
Berechne das Maß des Winkels $S C A .$
$\tan ∢ S C A = \frac{M S}{A C - A M} \Rightarrow \tan ∢ S C A = \frac{8}{13 - 9}$
$\tan ∢ S C A =$ 2
$∢ S C A = {63,43}^{\circ}$
Der Punkt $N$ liegt auf der Strecke $[M S]$ mit $M N = 2,5 cm$ . Der Punkt $F$ ist der Schnittpunkt der Halbgeraden $[A N$ mit der Strecke $[C S]$ . Zeichnen Sie den Punkt $N$ und die Strecke $[A F]$ in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie das Maß des Winkels $C A F$ . (2 P)
$[$ Teilergebnis: $∢ C A F = 15,52 °$ $]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Einzeichnen des Punktes $N$ und der Strecke $[A F]$ .
Berechnen des Winkles $C A F$ .
$\tan ∢ C A F = \frac{M N}{A M}; \tan ∢ C A F = \frac{2,5}{9}$
$∢ C A F = {15,52}^{\circ}$
Der Punkt $N$ ist der Diagonalenschnittpunkt des Drachenvierecks $A E F G$ mit den Diagonalen $[A F]$ und $[E G]$ , wobei gilt:
$E \in [B S)$ , $G \in [D S]$ und $[E G] ‖ [B D]$ .
Zeichnen Sie die Strecke $[E G]$ und das Drachenviereck $A E F G$ in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie den Flächeninhalt $A_{A E F G}$ des Drachenvierecks $A E F G$ . (5 P)
$[$ Teilergebnis: $A_{A E F G} = 48,88 {cm}^{2}$ $]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck
Zeichne die Strecke $[E G]$ und das Drachenviereck in die Pyramide $A B C D S$ .
Berechne den Flächeninhalt des Drachenvierecks $A E F G$ .
Berechne die Strecke $[A F]$ .
$\frac{A F}{\sin ∢ S C A} = \frac{A C}{\sin ∢ C F A}; \frac{A F}{\sin {63,43}^{\circ}} = \frac{13 cm}{\sin (180^{\circ} - {63,43}^{\circ} - {15,52}^{\circ})}$
$A F = \frac{13 cm \cdot 0,8944}{0,9815} A F = 11,85 cm$
Berechne die Strecke $[E F]$ .
$\frac{M S}{B D} = \frac{S N}{E G}; E G = \frac{S N \cdot B D}{M S}$
$E G = \frac{(8 cm - 2,5 cm) \cdot 12 cm}{8 cm} E G = 8,25 cm$
Flächeninhalt des Drachenvierecks: $A E F G = \frac{A F \cdot E G}{2}$
$A_{A E F G} = \frac{11,85 cm \cdot 8,25 cm}{2}$
$A_{A E F G} = 48,88 {cm}^{2}$
Für Punkte $P_{n} \in [A S]$ gilt: $A P_{n} (x) = x cm$ ( $x \in ℝ; 0 < x \leq 12,04$ ). Sie sind die Spitzen von Pyramiden $A E F G P_{n}$ mit den Höhenfußpunkten $Q_{n} \in [A F]$ . Zeichnen Sie die Pyramide $A E F G P_{1}$ und die Pyramidenhöhe $[P_{1} Q_{1}]$ für $x = 7$ in das Schrägbild zu 2a) ein. Zeigen Sie sodann, dass für die Pyramidenhöhen $[P_{n} Q_{n}]$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $P_{n} Q_{n} (x) = 0,44 \cdot x cm$ . (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Zeichne die Pyramide $A E F G P_{1}$ und die Strecke $[P_{1} Q_{1}]$ in das Schrägbild ein.
Zeige, dass für die Pyramidenhöhen $[P_{n} Q_{n}]$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:
$P_{n} Q_{n} (x) = 0,44 \cdot x cm$
Im Dreieck $P_{n} Q_{n} A$ gilt: $\sin ∢ Q_{n} A P_{n} = \frac{P_{n} Q_{n}}{A P_{n}}$
$∢ Q_{n} A P_{n} = ∢ C A S - ∢ C A F$
$\tan ∢ C A S = \frac{S M}{A M} = \frac{8 cm}{9 cm}; \tan ∢ C A S = 0,8889$
$∢ C A S = {41,63}^{\circ}$
$∢ Q_{n} A P_{n} = {41,63}^{\circ} - {15,52}^{\circ}$
$∢ Q_{n} A P_{n} = {26,11}^{\circ}$
$\sin {26,11}^{\circ} = \frac{P_{n} Q_{n}}{x (cm)} \Rightarrow P_{n} Q_{n} = \sin {26,11}^{\circ} \cdot x (cm)$
$P_{n} Q_{n} (x) = 0,44 \cdot x (cm) x \in ℝ; 0 < x \leq 12,04$
Das Volumen der Pyramide $A E F G P_{2}$ beträgt $14 {cm}^{3}$ .
Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für $x$ . (2 P)
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Pyramide lautet:
$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Gegeben ist:
$G = 48,88 {cm}^{2}; h = 0,44 \cdot x cm; V = 14 {cm}^{3}$
$V (x) = \frac{1}{3} \cdot 48,88 {cm}^{2} \cdot 0,44 \cdot x cm; V (x) = 7,17 {cm}^{2} \cdot x cm$
$V (x) = 7,17 {cm}^{2} \cdot x cm; 14 {cm}^{3} = 7,17 \cdot x {cm}^{3}$
$x = 1,95$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org