Aufgaben zur hypergeometrischen Verteilung

Das Gegenereignis von "mindestens ein Gewinn" ist "kein Gewinn".

Die Wahrscheinlichkeit kannst du dir leicht überlegen:

• Beim ersten Los sind 150 Nieten unter 200 Losen vorhanden. Die Wahrscheinlichkeit eine Niete zu ziehen ist $\frac{150}{200}$.

• Beim zweiten Los sind noch 149 Nieten unter 199 Losen vorhanden. Die Wahrscheinlichkeit eine Niete zu ziehen ist $\frac{149}{199}$.

• ...

Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit

$${\displaystyle P\left(\text{"mindestens ein Gewinn"}\right)=1-\frac{150}{200}\cdot \frac{149}{199}\cdot \frac{148}{198}\cdot \frac{147}{197}\cdot \frac{146}{196}\approx \mathrm{0,7667}}$$.

$P(\text{genau zwei Gewinne})=\frac{\left(\begin{array}{c}50\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}150\\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}200\\ 5\end{array}\right)}\approx \mathrm{0,2663}$.

(Aus 50 Gewinnen werden 2 ausgewählt, aus 150 Nieten werden 3 ausgewählt. Insgesamt werden aus 200 Losen 5 ausgewählt.)

$P(\text{"mindestens drei Gewinne"})=\frac{\left(\begin{array}{c}50\\ 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}150\\ 2\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}200\\ 5\end{array}\right)}+\frac{\left(\begin{array}{c}50\\ 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}150\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}200\\ 5\end{array}\right)}+\frac{\left(\begin{array}{c}50\\ 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}150\\ 0\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}200\\ 5\end{array}\right)}\approx \mathrm{0,0864}+\mathrm{0,0136}+\mathrm{0,0008}=\mathrm{0,1008}$