Nachtermin Teil A

Aufgabe A3

Das Drachenviereck $A B C D$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Höhe $[M S]$ . Die Zeichnung zeigt ein Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei $[A C]$ auf der Schrägbildachse liegt.

Es gilt: $A C = 6$ cm; $A M = 4$ cm; $B D = 6$ cm; $M S = 5$ cm.

Der Punkt $E$ liegt auf der Halbgeraden $[A C$ mit $A E = 7,5$ cm. Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[M S]$ . Die Winkel $M A P_{n}$ haben das Maß $φ$ . Die Punkte $P_{n}$ sind für $φ \in] 0^{\circ}; {51,34}^{\circ}]$ die Spitzen von Pyramiden $A B E D P_{n}$ mit dem Drachenviereck $A B E D$ als Grundfläche sowie den Höhen $[M P_{n}]$ .
Zeichnen Sie die Pyramide $A B E D P_{1}$ für $φ = 30 °$ in das Schrägbild zu 3) ein. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Einzeichnen der Pyramide $A B E D P_{1}$ für $φ = 30 °$ in das Schrägbild.
Berechnen Sie das Volumen $V$ der Pyramiden $A B E D P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ . (2 P)
[Ergebnis: $V (φ) = 30 \cdot \tan φ$ $c m^{3}$ ].

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Das Pyramidenvolumen berechnet man mit:
$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Die Grundfläche ist ein Drachenviereck. Hier gilt für den Flächeninhalt:
$A_{Drachenviereck} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$
Dabei sind $e$ und $f$ die Diagonalen des Drachenvierecks.
Damit folgt für das Pyramidenvolumen:
$V_{A B E D P_{n}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot A E \cdot B D \cdot M P_{n}$
Berechne $M P_{n}$ :
Gegeben ist $A M = 4 cm$ .
Dann gilt: $\tan φ = \frac{M P_{n}}{4 cm}$
$\Rightarrow M P_{n} = 4 \cdot \tan φ cm$
mit $φ \in] 0^{\circ}; {51,34}^{\circ}]$
Setze die gegebenen Werte $A E = 7,5 cm$ , $B D = 6 cm$ und $M P_{n}$ in $V$ ein:
$V (φ) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 7,5 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \tan φ {cm}^{3} = 30 \cdot \tan φ {cm}^{3}$
$V (φ) = 30 \cdot \tan φ {cm}^{3}$ mit $φ \in] 0^{\circ}; {51,34}^{\circ}]$
Das Volumen der Pyramide $A B E D P_{2}$ ist genau so groß wie das Volumen der Pyramide $A B C D S$ . Bestimmen Sie den zugehörigen Wert für $φ$ . (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
$V_{A B E D S} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D \cdot M S$
Setze die gegebenen Werte $A C = 6 cm$ , $B D = 6 cm$ und $M S = 5 cm$ in $V$ ein:
$V_{A B E D S} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5 = 30 {cm}^{3}$
$V_{A B E D P_{2}} = 30 \cdot \tan φ {cm}^{3}$ mit $φ \in] 0^{\circ}; {51,34}^{\circ}]$
Setze $V_{A B E D P_{2}} = V_{A B E D S}$
$30 \cdot \tan φ$ $=$ $30$ $: 30$
$\tan φ$ $=$ $1$ $\tan^{- 1}$
$φ$ $=$ $45^{\circ}$
$𝕃 = {45^{\circ}}$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$30 \cdot \tan φ$	$=$	$30$	$: 30$
$\tan φ$	$=$	$1$	$\tan^{- 1}$
$φ$	$=$	$45^{\circ}$