Teil B

Aufgabe B1

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = 3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4$ ( $𝔾 = ℝ \times ℝ$ ).

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Geben Sie die Gleichung der Asymptote $h$ des Graphen zu $f_{1}$ an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 4; 9]$ in ein Koordinatensystem. (2 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 4 \leq x \leq 9$ ; $- 6 \leq y \leq 4$

Die Gleichung der (senkrechten) Asymptoten ist $h : x = - 7$ .
Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Funktion $f_{2}$ gilt:
$y = - 3 \cdot \log_{3} (x + 6) + 2$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 4; 9]$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (3 P)

Spiegelung an der $x$ -Achse:
$f_{g y} (x) = - f_{1} (x)$
$f_{g y} (x) = - (3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4)$
$f_{g y} (x) = - 3 \cdot \log_{3} (x + 7) + 4$
Mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array})$ verschieben:
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ - 3 \cdot \log_{3} (x + 7) + 4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array})$
$1 : x^{'} = x + 1$
$2 : y^{'} = - 3 \cdot \log_{3} (x + 7) + 4 - 2$
Gleichung $1$ umformen:
$x^{'} = x + 1 | - 1$
$x = x^{'} - 1$
in Gleichung $2$ einsetzen:
$y^{'} = - 3 \cdot \log_{3} (x^{'} - 1 + 7) + 4 - 2$
$y^{'} = - 3 \cdot \log_{3} (x^{'} + 6) + 2$
$f_{2} : y = - 3 \cdot \log_{3} (x + 6) + 2$
Punkte $A_{n} (x | - 3 \cdot \log_{3} (x + 6) + 2)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ und Punkte $D_{n} (x | 3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind für $x > - 3,46$ zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $C_{n}$ Eckpunkte von Parallelogrammen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Die Punkte $B_{n}$ liegen dabei ebenfalls auf dem Graphen zu $f_{2}$ , ihre x-Koordinate ist stets um 4 größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .
Zeichnen Sie das Parallelogramm $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1,5$ und das Parallelogramm $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 4$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)

Berechnung der Punkte:
$x = - 1,5$
$A_{1} (- 1,5 | - 3 \cdot \log_{3} (- 1,5 + 6) + 2) \Rightarrow A_{1} (- 1,5 | - 2,11)$
$D_{1} (- 1,5 | 3 \cdot \log_{3} (- 1,5 + 7) - 4) \Rightarrow D_{1} (- 1,5 | 0,66)$
Für $B_{1}$ ist die Abszisse um $4$ größer $\Rightarrow x = - 1,5 + 4 = 2,5$
$B_{1} (2,5 | - 3 \cdot \log_{3} (2,5 + 6) + 2) \Rightarrow B_{1} (2,5 | - 3,84)$
$\vec{C_{1}} = \vec{B_{1}} + \vec{A_{1} D_{1}}$
$\vec{C_{1}} = (\begin{array}{c} 2,5 \\ - 3,84 \end{array}) + ((\begin{array}{c} - 1,5 \\ 0,66 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1,5 \\ - 2,11 \end{array})) = (\begin{array}{c} 2,5 \\ - 1,07 \end{array})$
$C_{1} (2,5 | - 1,07)$
$x = 4$
$A_{2} (4 | - 3 \cdot \log_{3} (4 + 6) + 2) \Rightarrow A_{2} (4 | - 4,29)$
$D_{2} (4 | 3 \cdot \log_{3} (4 + 7) - 4) \Rightarrow D_{2} (4 | 2,55)$
Für $B_{2}$ ist die Abszisse um $4$ größer $\Rightarrow x = 4 + 4 = 8$
$B_{2} (8 | - 3 \cdot \log_{3} (8 + 6) + 2) \Rightarrow B_{2} (8 | - 5,21)$
$\vec{C_{2}} = \vec{B_{2}} + \vec{A_{2} D_{2}}$
$\vec{C_{2}} = (\begin{array}{c} 8 \\ - 5,21 \end{array}) + ((\begin{array}{c} 4 \\ 2,55 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ - 4,29 \end{array})) = (\begin{array}{c} 8 \\ 1,63 \end{array})$
$C_{2} (8 | 1,63)$
Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt $A$ der Parallelogramme $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: (3 P)
$A (x) = [12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24] FE$ .

$A_{Parallelogramm} = a \cdot h$
$a = D_{y n} - A_{y n}$
$a = 3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4 - (- 3 \cdot \log_{3} (x + 6) + 2)$
$a = 3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4 + 3 \cdot \log_{3} (x + 6) - 2$
$a = 3 \cdot (\log_{3} (x + 7) + \log_{3} (x + 6)) - 6$
Logarithmusumformung!
$a = 3 \cdot \log_{3} ((x + 7) \cdot (x + 6)) - 6$
$a = 3 \cdot \log_{3} (x^{2} + 6 x + 7 x + 42) - 6$
$a = 3 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 6$
Da das Parallelogramm eine Höhe von $4$ hat, muss der Term noch mit $4$ multipliziert werden.
$A_{Parallelogramm} (x) = (3 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 6) \cdot 4$
$A_{Parallelogramm} (x) = [12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24] FE$
Einsetzen der Punkte $A_{y n}$ und $D_{y n}$ in die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms
Im Parallelogramm $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt der Punkt $D_{3}$ auf der $x$ -Achse.
Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Parallelogramms $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ . (3 P)
FE

$f_{1} (x_{D_{3}})$ $=$ $0$
$3 \cdot \log_{3} (x_{D_{3}} + 7) - 4$ $=$ $0$ $+ 4$
$3 \cdot \log_{3} (x_{D_{3}} + 7)$ $=$ $4$ $: 3$
$\log_{3} (x_{D_{3}} + 7)$ $=$ $\frac{4}{3}$
$x_{D_{3}} + 7$ $=$ $3^{(\frac{4}{3})}$ $- 7$
$x_{D_{3}}$ $=$ $3^{(\frac{4}{3})} - 7$
$D_{3} (3^{(\frac{4}{3})} - 7 | 0) \Rightarrow D_{3} (- 2,67 | 0)$
Berechnung des Flächeninhaltes $A$ :
Setze $x = - 2,67$ in $A (x) = [12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24] FE$ ein.
$A_{A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}} = [12 \cdot \log_{3} ((- 2,67)^{2} + 13 \cdot (- 2,67) + 42) - 24] = 5,15 FE$
Die Zeichnung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Da $D_{3}$ auf der x-Achse liegt, muss gelten: $f_{1} (x_{D_{3}}) = 0$ . Damit ergibt sich der x-Wert des Punktes von $D_{3}$ .
Das Parallelogramm $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ hat einen Flächeninhalt von $16 FE$ .
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $B_{4}$ . (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösung einer quadratischen Gleichung
Setze $A (x) = 16$ .
$12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24$ $=$ $16$ $+ 24$
↓
Löse nach $x$ auf.
$12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42)$ $=$ $40$ $: 12$
$\log_{3} (x^{2} + 13 x + 42)$ $=$ $\frac{40}{12}$ $3^{()}$
↓
Kürze $\frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ .
$x^{2} + 13 x + 42$ $=$ $3^{\frac{10}{3}}$ $- 3^{\frac{10}{3}}$
$x^{2} + 13 x + 42 - 3^{\frac{10}{3}}$ $=$ $0$
Die quadratische Gleichung löst man mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
$x_{1,2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
↓
Setze $a = 1$ ; $b = 13$ und $c = (42 - 3^{\frac{10}{3}})$ ein.
$=$ $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (42 - 3^{\frac{10}{3}})}}{2 \cdot 1}$
↓
Berechne die Wurzel.
$=$ $\frac{- 13 \pm 12,52}{2}$
Es ist $x_{1} = - 12,76$ und $x_{2} = - 0,24$
Da $x > - 3,46$ vorgeben ist, entfällt $x_{1} \Rightarrow 𝕃 = {- 0,24}$
Der x-Wert für den Punkt $B$ ist um $4$ höher.
$= > x_{B} = - 0,24 + 4 = 3,76$
Einsetzen in $f_{2} (x) :$
$- 3 \log_{3} (3,76 + 6) + 2$ $=$ $- 4,22$
$= > B (3,76 | - 4,22)$
Die Zeichnung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org

$f_{1} (x_{D_{3}})$	$=$	$0$
$3 \cdot \log_{3} (x_{D_{3}} + 7) - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$3 \cdot \log_{3} (x_{D_{3}} + 7)$	$=$	$4$	$: 3$
$\log_{3} (x_{D_{3}} + 7)$	$=$	$\frac{4}{3}$
$x_{D_{3}} + 7$	$=$	$3^{(\frac{4}{3})}$	$- 7$
$x_{D_{3}}$	$=$	$3^{(\frac{4}{3})} - 7$

$12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24$	$=$	$16$	$+ 24$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42)$	$=$	$40$	$: 12$
$\log_{3} (x^{2} + 13 x + 42)$	$=$	$\frac{40}{12}$	$3^{()}$
	↓	Kürze $\frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ .
$x^{2} + 13 x + 42$	$=$	$3^{\frac{10}{3}}$	$- 3^{\frac{10}{3}}$
$x^{2} + 13 x + 42 - 3^{\frac{10}{3}}$	$=$	$0$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 1$ ; $b = 13$ und $c = (42 - 3^{\frac{10}{3}})$ ein.
	$=$	$\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (42 - 3^{\frac{10}{3}})}}{2 \cdot 1}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$\frac{- 13 \pm 12,52}{2}$