Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Das Experiment ist ein zweistufiges Zufallsexperiment

$1.$ Stufe: Werfen eines Laplace-Würfels und Beachten ob Augenzahl $6$ oder $\overline{6}$

${\mathrm{\Omega }}_1=\{6;\overline{6}\}$= mit $P(6)=\frac{1}{6};P(\overline{6})=\frac{5}{6}$

$2.$ Stufe: Drehen einer Drehscheibe und Beachten der Sektoren $N,K$ odee $E$

${\mathrm{\Omega }}_2=\{N,K,E\}$ mit $P(N)=\frac{160}{360}=\frac{4}{9}$;

Es gilt: $P(K\cup E)=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$

Da die Ereignisse $K$ und $E$ unvereinbar sind, gilt $P(K\cap E)=0$.

Somit folgt aus $P(K\cup E)=P(K)+P(E)-P(K\cap E)$, dass $P(K\cup E)=P(K)+P(E)$ ist.

Wählt man $P(K)=p$ und $P(E)=q$, so ist $p+q=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.

Bestimmung der Mittelpunktswinkel

Zur Bestimmung der Mittelpunktswinkel muss man die Wahrscheinlichkeiten $p$ und $q$ ermitteln.

Das Zufallsexperiment 'Drehen einer Drehscheibe' wird nur durchgeführt, wenn das Ergebnis des Zufallsexperimentes 'Werfen eines Laplace-Würfels' Augenzahl $6$

Im bedingten Wahrscheinlichkeitsraum gilt:

$\begin{array}{l}p(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\\ \Rightarrow P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)\end{array}$

Falls die Ereignisse $A$ und $B$ unabhängig sind, gilt $A(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Da die Ereignisse beim 'Werfen eines Laplace-Würfels' und die Ereignisse beim 'Drehen der Drehscheibe' unabhängig sind, gilt hier:

$P(\{6\}|N)=P(\{6\})\cdot P(N)$

Damit hat man:

Für den Gewinn $G=0\Rightarrow P(G=0)=\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{9}+\frac{5}{6}$

Für den Gewinn $G=28\Rightarrow P(G=28)=\frac{1}{6}\cdot p$

Für den Gewinn $G=36\Rightarrow P(G=36)=\frac{1}{6}\cdot (\frac{5}{9}-p)$

Für den Erwartungswert gilt $E(X)=3.$

$\begin{array}{l}E(X)=G_1\cdot P(X=G_1)+G_2\cdot P(X=G_2)+G_3\cdot P(X=G_3)=3\\ ⟺0\cdot (\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{9}+\frac{5}{6})+\frac{1}{6}\cdot \{28\cdot p+36\cdot (\frac{5}{9}-p)\}=3\\ ⟺18=28\cdot p+36\cdot \frac{5}{9}-36\cdot p\\ ⟺18=28\cdot p+\frac{4\cdot 9\cdot 5}{9}-36\cdot p\\ ⟺18=28\cdot p+20-36\cdot p\\ ⟺-2=-8\cdot p\\ ⟺p=\frac{1}{4}\end{array}$

Damit ist $\begin{array}{l}q=\frac{5}{9}-\frac{1}{4}\\ ⟺q=\frac{20-9}{36}\\ ⟺q=\frac{11}{36}\\ ⟺q=\frac{110}{360}\end{array}$

Damit ist der Mittelpunktswinkel beim Ereignis $N$ gerade ${160}^{\circ }$, beim Ereignis $K$ genau ${90}^{\circ }$ und beim Ereignis $E$ ist der Mittelpunktswinkel ${110}^{\circ }$.