Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Lösung

Es werden mindestens $25$ Bollerwagen ausgeliehen

Es ist $n=200$ und $p=\mathrm{0,15}$.

Binomialverteilung:

$P(X\ge 25)=1-P(X\le 24)=1-F(200;\mathrm{0,15};24)=1-\mathrm{0,1368}=\mathrm{0,8632}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $25$ Bollerwagen ausgeliehen werden, beträgt rund $\mathrm{86,3}\%$.

Lösung

Die fünfte Familie ist die erste, die einen Bollerwagen ausleiht

Die Wahrscheinlichkeit dafür, keinen Bollerwagen auszuleihen ist $1-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,85}$.

A : "Die 5. Familie ist die erste, die einen Bollerwagen ausleiht“

Es wird also 4-mal kein Bollerwagen ausgeliehen $(p=\mathrm{0,85})$ und 1-mal ein Bollerwagen $(p=\mathrm{0,15})$ ausgeliehen $\Rightarrow P(A)={\mathrm{0,85}}^4\cdot \mathrm{0,15}=\mathrm{0,0783}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die fünfte Familie die erste ist, die einen Bollerwagen ausleiht, beträgt rund $\mathrm{7,8}\%$.

Lösung

Bereich um den Erwartungswert, in dem die Werte der Zufallsgröße $X$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75$% liegen

Es ist $\mu =n\cdot p=200\cdot \mathrm{0,15}=30$.

Weiterhin ist $\sigma =\sqrt{200\cdot \mathrm{0,15}\cdot (1-\mathrm{0,15})}\approx \mathrm{5,05}$.

Für ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert gilt:

$[\mu -c\cdot \sigma ;\mu +c\cdot \sigma ]$

Für eine Wahrscheinlichkeit von $75\%$ ist $c=\mathrm{1,15}$.

$\Rightarrow [\mu -c\cdot \sigma ;\mu +c\cdot \sigma ]=[30-\mathrm{1,15}\cdot \mathrm{5,05};30+\mathrm{1,15}\cdot \mathrm{5,05}]=[\mathrm{24,2};\mathrm{35,8}]$

Gerundet erhält man das Intervall $[24;36]$.

Überprüfung für das Intervall $[24;36]$: $P(24\le X\le 36)=F(200;\mathrm{0,15};36)-F(200;\mathrm{0,15};23)=\mathrm{0,8987}-\mathrm{0,0959}=\mathrm{0,8028}>\mathrm{0,75}$

Überprüfung für das Intervall $[25;35]$:

$P(25\le X\le 35)=F(200;\mathrm{0,15};35)-F(200;\mathrm{0,15};24)=\mathrm{0,8613}-\mathrm{0,1368}=\mathrm{0,7245}<\mathrm{0,75}$

Damit ist das Intervall $[24;36]$ das gesuchte Intervall.