Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Betrachtet wird die in $ℝ$ definierte Funktion $p : x \mapsto \frac{40}{(x - 12)^{2} + 4}$ ; die Abbildung zeigt den Graphen $G_{p}$ von p.

Beschreiben Sie, wie $G_{p}$ aus dem Graphen der in $ℝ$ definierten Funktion $h : x \mapsto \frac{5}{x^{2} + 4}$ schrittweise hervorgeht, und begründen Sie damit, dass $G_{p}$ bezüglich der Gerade mit der Gleichung $x = 12$ symmetrisch ist. (4P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen verändern
Ausgehend vom Graphen $G_{h_{}}$ der Funktion $h (x) = \frac{5}{x^{2} + 4}$ h soll der Graph $G_{p}$ der Funktion $p (x) = \frac{40}{(x - 12)^{2} + 4}$ dargestellt werden.
Der Graph $G_{f}$ der Funktion $y = f (x - a); a > 0$ ergibt sich aus dem Graphen $G_{g}$ der Funktion $g (x) = f (x - a)$ durch Verschiebung um $a$ in Richtung der positiven $x -$ Achse.
Beispiel: Der Graph der Funktion $f_{o} (x) = x^{2}$ ist die Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S_{o} (0 | 0)$ und der Graph der Funktion $f_{a} (x) = (x - a)^{2}$ ist die um $a$ in Richtung der positiven $x -$ Achse verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S_{a} (a | 0)$ .
Ersetzt man in der Funktion $h$ die unabhängige Variable $x$ durch $x - 12$ , so erhält man $h_{12} (x) = \frac{5}{(x - 12)^{2} + 4}$ .
Der Graph $G_{h_{12}}$ ergibt sich aus dem Graphen $G_{h}$ durch Verschiebung um $12 L E$ in Richtung der positiven $x -$ Achse.
Multipliziert man $h_{1} (x)$ mit dem Faktor $8$ , so werden alle Funktionswerte um den Faktor $8$ vergrößert. Man erhält den Graphen $G_{p}$
$8 \cdot h_{1} (x) = 8 \cdot \frac{5}{(x - 12)^{2} + 4} = \frac{40}{(x - 12)^{2} + 4} = p (x)$
Der Graph $G_{h}$ ist achsensymmetrisch bzgl. der $y -$ Achse, weil sowohl Zählerterm als auch Nennerterm von $h$ gerade sind.
Es gilt: $h (x) = h (- x) \forall x \in ℝ .$
Also ist der Graph $G_{h}$ symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung $x = 0$ .
Weil man $x$ durch $x - 12$ ersetzt hat, ist der Graph $G_{p}$ symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung $x = 12.$
Eine auf einem Hausdach installierte Photovoltaikanlage wandelt Lichtenergie in elektrische Energie um. Für $4 \leq x \leq 20$ beschreibt die Funktion p modellhaft die zeitliche Entwicklung der Leistung der Anlage an einem bestimmten Tag. Dabei ist $x$ die seit Mitternacht vergangene Zeit in Stunden und $p (x)$ die Leistung in kW (Kilowatt).
Bestimmen Sie rechnerisch die Uhrzeit am Nachmittag auf Minuten genau, ab der die Leistung der Anlage weniger als $40$ % ihres Tageshöchstwerts von $10$ kW beträgt. (4P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen
Die Leistung der PV-Anlage wird modellhaft durch die Funktion $p^{}$ beschrieben.
$p (x) = \frac{40}{(x - 12)^{2} + 4}$
Für welches $x$ gilt: $p (x) < 4$
$\begin{array}{l} \frac{40}{(x - 12)^{2} + 4} < 4 ⟺ \frac{10}{(x - 12)^{2} + 4} < 1 ⟺ 10 < (x - 12)^{2} + 4 \\ ⟺ 6 < (x - 12)^{2} ⟺ \sqrt{6} < | x - 12 | \end{array}$
Diese Ungleichung bedeutet, welche Werte von $x$ haben von $12$ einen Abstand, der größer als $\sqrt{6}$ ist?
Da in der Aufgabe nach einer Uhrzeit am Nachmittag gefragt ist, gilt:
$\begin{array}{l} \sqrt{6} < x - 12 ⟺ x > 12 + \sqrt{6} ⟺ x > 12 + 2,449 \\ \Rightarrow x > 14 \end{array}$ Uhr $27$ Minuten
Die Funktion $p$ besitzt im Intervall $[4; 12]$ eine Wendestelle. Geben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle im Sachzusammenhang an. (2P)

Die Funktion $p$ ist im Intervall $[4; 12]$ monoton steigend, denn
$p^{'} (x) = 40 \cdot \frac{- 2 \cdot (x - 12)}{[(x - 12)^{2} + 4)]^{2}} = - 80 \cdot \frac{x - 12}{[(x - 12)^{2} + 4]^{2}} > 0$ .
Da der Nennerterm von $p^{'} (x)$ als Quadrat positiv ist und der Zählerterm $- 80 \cdot (x - 12)$ im Intervall $[4; 12]$ auch positiv ist, wächst $p$ im Intervall $[4; 12]$ .
Der Wendepunkt ist ein (möglicher) Extrempunkt der 1. Ableitung, also der Veränderung (hier: Ansteigen) der Leistung.
Bis zur Wendestelle $x_{w}$ wird das Ansteigen der Leistung immer stärker und nach der Wendestelle wird das Ansteigen schwächer. An der Wendestelle hat das Ansteigen der Leistung seinen Maximalwert erreicht. Um $12$ Uhr hat das Ansteigen den Wert Null.
Die von der Anlage produzierte elektrische Energie wird vollständig in das Stromnetz eingespeist. Der Hauseigentümer erhält für die eingespeiste elektrische Energie eine Vergütung von $10$ Cent pro Kilowattstunde (kWh). Die in $[4; 20]$ definierte Funktion $x \mapsto E (x)$ gibt die elektrische Energie in kWh an, die die Anlage am betrachteten Tag von $4 : 00$ Uhr bis $x$ Stunden nach Mitternacht in das Stromnetz einspeist.
Es gilt $E^{'} (x) = p (x)$ für $x \in [4; 20]$ .
Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Vergütung, die der Hauseigentümer für die von $10 : 00$ Uhr bis $14 : 00$ Uhr in das Stromnetz eingespeiste elektrische Energie erhält. (3P)

Die in $[4,20]$ definierte Funktion $x \to E (x)$ gibt die eingespeiste elektrische Energie an und es gilt $E^{'} (x) = p (x) .$ Somit ist $E$ Stammfunktion von $p .$
Und mittels $\int_{10}^{14} p (x) d x$ berechnet sich die eingespeiste Energie von $10 : 00$ Uhr bis $14 : 00$ Uhr.
$\int_{10}^{14} p (x) d x$ lässt sich näherungsweise über den Inhalt der dem Graph von $p (x)$ einbeschriebenen Treppenfigur $U$ bzw. umbeschriebenen Treppenfigur $O$ berechnen.
Da der Graph von $p (x)$ symmetrisch bzgl. der $y -$ Achse ist, genügt es, den Inhalt der Treppenfiguren im Intervall $[10; 12]$ zu berechnen. Den dann berechneten Wert des Flächeninhaltes multipliziert man mit $2.$
Man unterteilt das Intervall $[10,12]$ in zwei Teilintervalle der Länge $Δ x = 1$ .
Es gilt: $p (10) = \frac{40}{(10 - 12)^{2} + 4} = 5; p (11) = \frac{40}{(11 - 12)^{2} + 4} = 8; p (12) = 10$
Dann erhält man für die Fläche der einbeschriebenen Treppenfigur
$U = 5 \cdot 1 + 8 \cdot 1 = 13 FE$
Und für die Fläche der umbeschriebenen Treppenfigur:
$O = 8 \cdot 1 + 10 \cdot 1 = 18 FE$
Bildet man den Mittelwert von $U$ und $O$ , so erhält man: $\frac{U + O}{2} = \frac{31}{2} FE$
Somit kann man den Wert des Flächeninhaltes unter dem Graph von $p (x)$ im Intervall $[10; 14]$ näherungsweise mit $31 FE$ angeben.
Damit werden in der Zeit von $10 : 00$ Uhr bis $14 : 00$ Uhr etwa $31 kWh$ eingespeist.
Der Hauseigentümer erhält als Vergütung $3,10$ Euro.

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org