Geometrie, Teil A, Aufgabengruppe 1

Gegeben ist die Gerade $g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 1 \\ 7 \\ 2 \end{array}) + α \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array})$ , $α \in ℝ$ , sowie eine weitere Gerade $h$ , welche parallel zu $g$ ist und durch den Punkt $A (2 | 0 | 0)$ verläuft. Der Punkt $B$ liegt auf $g$ so, dass die Geraden $A B$ und $h$ senkrecht zueinander sind.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $B$ . (4P)
(zur Kontrolle: B(-2|3|2))

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Gegeben ist die Gerade $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ 7 \\ 2 \end{array}) + α \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array})$
Die Gerade $h$ hat die Gleichung: $h : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + β \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array})$ .
Da der Punkt $B$ auf der Geraden $g$ liegt, hat er die
Koordinaten $B : (1 + 3 α | 7 + 4 α | 2)$ .
Die Gerade $g_{A B}$ durch die Punkte $A$ und $B$ hat die Gleichung:
$g_{A B} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + γ \cdot (\begin{array}{c} - 1 + 3 α \\ 7 + 4 α \\ 2 \end{array})$ .
Da $h$ und $g_{A B}$ senkrecht zueinander sein sollen, muss gelten:
$\begin{array}{l} (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 1 + 3 α \\ 7 + 4 α \\ 2 \end{array}) = 0 \\ ⟺ - 3 + 9 α + 28 + 16 α + 0 = 0 ⟺ 25 + 25 α = 0 \\ ⟺ α = - 1 \end{array}$
Setze $α = - 1$ in $B (1 + 3 α | 7 + 4 α | 2)$ ein: $\Rightarrow B (- 2 | 3 | 2)$
Berechnen Sie den Abstand von $g$ und $h$ . (1P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Betrag
Wegen der Vorarbeit in Aufgabe a) ist der Abstand der Geraden $g$ und $h$ gerade der Abstand der Punkte $A$ und $B$ .
Also:
$\begin{array}{l} d (g, h) = d (A, B) = | \vec{A B} | = | (\begin{array}{c} - 2 - 2 \\ 3 - 0 \\ 2 - 0 \end{array}) | = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + 2^{2}} \\ \Rightarrow d (g, h) = \sqrt{29} L E \end{array}$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das? serlo.org